A. Pringsheim: lieber den sog. ztceiten Mittelwerthsatz etc. 223 
und da man dem betreffenden Mittelwert he wegen der 
Stetigkeit von §(p(x)-dx die Form: § (p(x)-dx, wo: 
Xo Xo 
geben kann, schliesslich, wie behauptet: 
(13) J = (y^— Y) • f cp (x) • dx Y-j(p(x)-dx 
Xo Xo 
^ X 
= yo‘Sv{^)' Y- ^(p{x) ■ dx. 
Xo s 
Es handelt sich somit einzig und allein noch um den Nach- 
weis der Beziehung (9). Hierbei werde zunächst vorausgesetzt, 
dass nicht nur cp {x), sondern auch \cp {x) \ in dem fraglichen 
Intervalle integrabel sei.*) Aus Gl. (5) folgt zunächst: 
» 
(14) I -R« I ^ X I fipo) — \-\(p{x)\ - dx. 
1 
Da nun, wegen der Monotonie von f {x), für jedes einzelne 
Integrations-Intervall Xr-\ <C.x <^Xy{}> = \,2, . . . n) die Bezieh- 
ung besteht: 
SO ergiebt sich weiter: 
n ®i' 
(16) I Ii„ < L’’ I /■ (a;,,_i -f 0) — /"(aJv - 0) | • J | 99 (a:) | • dx. 
Wird jetzt ß' > 0 beliebig klein vorgeschrieben, so kann 
man die Theil-Intervalle ((Ty-i, a;,.) so weit verkleinern,’*) dass: 
*) Diese Bedingung ist an sich schon erfüllt, wenn die als in- 
tegrabel vorausgesetzte Function endlich bleibt. Im übrigen be- 
schränkt sie lediglich den Charakter, nicht aber die Anzahl der etwa 
zulässigen Unendlichkeitsstellen. 
Dies ist ohne weiteres klar, wenn (p(x) durchweg endlich bleibt, 
folgt aber auch für den Fall eines absolut integrablen, unendlich- 
werdenden (p (.r) unmittelbar aus der entsprechenden Definition 
h 
eines Integi’ales von der Form ^ \(p{x)\‘ dx. 
