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Sitzung der wath.-phys. Classe vom 13. Juni 1900. 
(17) Xi 9j(a;) I • (v = 1, 2, . . . n). 
*r-i 
Alsdann wird aber: 
n 
Rn I < £ • XJ” I /■(a;,.-! + 0) — 0) I , 
1 
und da die Differenzen /"(a:,,-] -|- 0) — f {x,, — 0) wegen der 
voimisgesetzten Monotonie von f {x) siünintlich gleichbe- 
z eiebn et (eventuell auch Null) sind, also: 
n 
>{ 
U>- I f{Xy_l 
i 
schliesslich: 
+ 0) 0) ! = I S' + 0)-/'(:r,-0)l I 
1 
(18) |i?„|<.'.i/-(a:o+0)-nx-0) , 
sodass also in der That | i?„ | — unter Voraussetzung eines 
absolut integrablen cp (x) — durch passende Vergrosserung 
von n beliebig klein gemacht werden kann.^) 
Es möge nun zweitens cp (x) auch solche Unendlichkeits- 
stellen a besitzen, dass zwar nicht mehr cp (x) \ , wohl aber 
cp (x) und f(x)-cp(x) durchweg integrabel bleiben. Da die a 
im äussersten Falle eine unausgedehnte^) Menge bilden, so 
besag-t die obige Integrabilitäts- Voraussetzung folgendes: Wird 
e' > 0 beliebig klein vorgeschrieben, so lassen sich die Stellen 
1) Man kann dieses Resultat auch noch in anderer Weise erschliessen. 
Da f(x) monoton ist und endlich bleibt, so kann es nur eine end- 
liche Anzahl von Stellen x' geben, in deren Umgehung die Schwankung 
von f(x) eine (beliebig klein vorzuschreibende) positive Zahl e' erreicht 
oder übersteigt. Bei hinlänglicher Verkleinerung der Theil-Intervalle 
wird die Gesammtlänge der Intervalle, welche jene Punkte x' enthalten 
eine beliebig kleine Zahl d, und zugleich in allen übrigen Intervallen: 
I f (xv-i + 0) — /■(Xv — 0) |< e'. 
Man findet daher aus Ungl. (16): 
X 
I J?» |<r'- Xl -P I • ^ • i + 0)-f(X-0)\. 
Xo 
2) Vgl. übrigens p. 220, Fussnote. 
