A. Pringsheim: Ueber den sog. zweiten Mitteliverthsatz etc. 225 
a in eine endliche Anzahl von Intervallen: dj, dg. . . . dp, 
wo etwa : 
(19) dy. = x,„.^ — (y. = 1,2, . . .])), 
eiuschliessen, so dass: 
(20) («) S(p{x)-dx\<E", (d) Sf{x)-(p{x)-dx\<E' 
* */»,,— I * *„1^—1 
(;. = i,2,...i.). 
Bezeichnet man sodann mit cp^ (x) .eine Function, die 
ausserhalb der Inteiwalle öy mit (x) übereinstimmt, da- 
gegen für x,„^-i ^x^ x,n_^ {y. ~ 1,2, . . .p)) verschwindet, so 
lässt sich Rn in die Form setzen: 
(21) 7?,.=L’' X {f{x)—f{Xy)]-(p^{x)-dx-\-^ xj {f{x)-f(x,„.J}-(p(x)dx. 
= Rn + Sp. 
Da (p^{x) endlich bleibt, so gilt für Ri, das zuvor in 
Bezug auf R,, gefundene Ergebniss Engl. (18), d. h. man erhält 
bei passender Vergrösserung von n: 
(32) ifi;, <t.|/-(x„+0)-/'(X-0)|. 
Ferner hat man: 
P p ^«'y 
(23) /Sp = X f{x) • q}{x) -dx-^^-" f(x„,J -X (p(x)-dx. 
’ “nij, - 1 1 1 
Die erste dieser Summen liegt nach Ungl. (20*") nume- 
risch unter s". Auf die zweite kann man, wegen der Mono- 
tonie von f(x„,J für y = l,2,...p, den Mittelwerthsatz (C) 
des vorigen Paragraphen (p. 214) anwenden. Beachtet man, 
dass jede der in Betracht kommenden Summen und folglich 
auch jeder aus ihnen gezogene Mittelwerth nach Ungl. (20“) 
numerisch unter e" liegt, so ergiebt sich: 
p 
(24) ji:«/(a;,>J'v<a^>f&|<|/-(a;„+0)-f(X-0)|-c"+|/-(X-0)|-s", 
