A. Pringsheim: Ueber den sog. zweiten Mittelwerthsatz etc. 227 
der Einleitung angedeuteten Methode Gl. (26) ab leiten.^) Man 
gewinnt dabei gegenüber den sonst üblichen Beweisen immer 
noch den Vortbeil, dass das Auftreten von Unendlichkeits- 
Stellen, welche die absolute Integrabilität von (p{x) bestehen 
lassen, sowie dasjenige unendlich vieler Zeicbenwecbsel 
bei <p{x) den Haupttbeil des Beweises in keiner Weise comjbicirt. 
§ 3, Ueber die bisherigen Beweise des zweiten Mittel- 
werthsatzes der Integralrechnung. 
1. Bonnet bezeichnet seinen Integralsatz (Fussn. 1, ji. 209) 
als eine unmittelbare Folge des Abel’scben Lemma's, ohne 
in eine genauere Discussion der erforderlichen Grenzübergänge 
einzutreten. Das entsprechende gilt von dem sogenannten 
Hanke] 'sehen Beweise des Satzes in der gewöhnlichen Du 
Bois-Reymond’schen Form (p. 209, Gl. U).^) Hankel be- 
weist in Wahrheit nur nochmals die Abel’sche Transformation 
0 
für und leitet daraus diejenige Summen-Relation ah, 
n 
welche der Mittelwerth-Formel (C') des § 1 bei Umkehrung der 
Gliederfolge entspricht. Im übrigen begnügt er sich mit dem 
Hinweise, dass daraus durch einen passenden Grenzübergang 
die fragliche Integralformel hervorgehe. 
Immerhin lehren diese Beweis- Andeutungen so viel, dass 
der eigentliche Kern des fraglichen Satzes in der Abel’schen 
Transformation liegt, und zwar gleichgültig, ob man auf den 
Beweis der Bonnet’scheh (I), der gewöhnlichen (H) oder 
der verallgemeinerten (HI) Du Bois-Reymond’schen Form 
ausgeht: gelingt es nur, die Abel’ sehe Transformation in an- 
9 Die directe Ableitung von Gl. (26) scheint mir aus dem Grunde 
unvortheilhaft, weil man alsdann die zur Abschätzung von Integralen 
mit der oberen Grenze oo besonders nützliche Formel (27) überhaupt 
nicht erhält. (So z. B. bei Thomae, a. a. 0. p. 18; Stolz, Grund- 
züge der Diff.- und Int.-R., Bd. I, p. 420). 
9 Zeitschr. f. Math. Bd. 14 (1869), p. 436. 
1900. SitzTingsb. d. math.-phys. CI. 
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