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Sitzung der math.-phys. Classe vom 13. Juni 1900. 
X 
gemessener Weise auf das Integral j f (x) • gp {x) • dx anzu- 
Xo 
wenden, so hängt die besondere Form des Endresultates 
lediglich davon ab, ob man (je nachdem f (x) als monoton 
und gleichbezeichnet oder nur als monoton vorausgesetzt 
wird) für den Endschluss das gewöhnhche Abel’sche Lemma 
(E'), die Mittelwerth-Relation (C') oder deren verallgemeinerte 
Form (C) des § 1 (bezw. die diesen Gleichungen zu Grunde 
liegenden Ungleichungen) benützt. Was nun aber die Mög- 
lichkeit betrifft, jenes Integral mit Hülfe der AbeFschen Trans- 
formation umzugestalten, so ergeben sich hier zwei verschiedene 
W ege. 
2. Am nächsten liegt es offenbar, die Umgestaltung des 
n 
Integrals in eine Summe von der Form S’’ «>• v,. dadurch zu 
1 
ermöglichen, dass man auf dessen Definition als Grenz- 
werth einer solchen Summe zurückgeht; 
X n 
( 1 ) S fi^) ’ • (.9 (^y) • 
Xo n=cc 1 
Der erste Beweis dieser Art — und zwar für die Satz- 
form (U) — ist wohl derjenige des Herrn Thomae (1875),^) 
etwas übersichtlicher (Satzform (I)) der des Herrn Dini (1878).^^) 
Unvollständig scheint mir ein ebenfalls hierher gehöriger Be- 
weis von Kronecker (1885),^) der auch in die von Herrn 
Ketto herausgegebenen Vorlesungen über die Theorie der In- 
tegrale übergegangen ist,^) während andererseits der von Kron- 
b A. a. 0. p. 18. 
b Dini-Lüroth, p. 387, § 204. 
b Mathesis, T. 5, p. 100. Es fehlt die Erörterung der Beziehung 
zwischen den dort mit w?, M und Wq, Mq bezeiehneten Zahlen. 
A. a. 0. p. 59. Die in der vorigen Fussnote mit >», M und »«o. 
bezeiehneten Zahlenpaare sind hier beide mit Mq,M bezeichnet. Dabei 
bedeuten Mq, M einmal eine untere und obere Schranke für 
y. 
<p (a;v) • 5>- (x = 1, 2, . . . «) , 
1 
