A. Pringsheim: Heber den sog. zweiten Mittelwertlisatz etc. 231 
wo u,. das arithmetische Mittel von f {x) für Xr-\ "^x ^ Xy 
bedeutet. Auf J„ wird dann wieder die AbeTsche Tran.s- 
formation angewendet, andererseits aber, um aus der Beziehung: 
n 
(4) I J?» I ^ S’' J ! f{x) — Uy\-\(p {x)\‘ dx 
1 Xy-l 
das Verschwinden von lim zu erschliessen, die beschränkende 
Voraussetzung der abtheilungsweisen Stetigkeit von f {x) 
eingeführt. In Folge dieser letzteren Bedingung ergiebt sich 
offenbar bei passender Wahl der Xy und hinlänglicher Ver- 
kleinerung von Xy — Xy- \ : 
n X 
(5) I Uh I J* \ (p {x) \ • dx = £ • ^ \ (p {x) \ ’ dx. 
1 Xy — j Xo 
Die beim Meyer’schen Beweise angeführte Beschränkung 
bezüglich der Zeichen Wechsel von 9? (x) kann durch ein von 
Du Bois - Reymond ‘) angegebenes Verfahren nachträglich 
wieder beseitigt werden. Auch der Xeumann’sche Beweis 
lässt sich dahin ergänzen, dass die in Bezug auf f(x) einge- 
führte Stetigkeits-Bedingung unnöthig erscheint.'^) 
Da der im vorigen Paragraphen von mir angegebene Be- 
weis, der ja ebenfalls dem hier charakterisirten Typus ange- 
hört,^) ohne irgendwelche nachträgliche Correctur zu erfordern, 
den fraglichen Satz sofort in der allgemeinsten Form und 
unter den denkbar allgemeinsten Voraussetzungen 
liefert, so dürfte er vielleicht immerhin einige Beachtung ver- 
dienen. 
b Journ. f. Math. Bd. 79 (1875), p. 42, Fussnote. Weniger allgemein 
bei Stolz, Grundzüge I, p. 422. 
b Vgl. Fussnote 1, p. 224. 
Um Missverständnisse zu vermeiden, bemerke ich, dass die Form, 
unter welcher ich hier den Meyer’schen und Neumann’schen Beweis 
dargestellt habe und welche ja mit derjenigen meines Beweises ausser- 
ordentliche Aehnlichkeit besitzt, keineswegs deren Originalform ist, viel- 
mehr von mir nur gewählt wurde, um den eigentlichen Kern und das 
gemeinsame aller dieser Beweise möglichst scharf hervortreten zu lassen. 
