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Sitzung der math.-phys. Classe vom 13. Juni 1900. 
4. Von Beweisen des fraglichen Satzes, die nicht auf der 
Abel’schen Transformation beruhen, sind mir nur zwei be- 
kannt geworden: der von Weierstrass in seinen Vorlesungen 
schon vor der Du Bois-ßeymond 'sehen Publication gegebene 
und ein anderer, der von Herrn Netto herrührt. Der erstere^) 
basirt auf der partiellen Integration und erfordert dem- 
gemäss die Existenz einer integrablen Derivirten f (x), 
besitzt also erheblich geringere Tragweite, als irgend einer der 
bisher betrachteten Beweise und macht insbesondere die all- 
gemeine Anwendbarkeit des Satzes auf den Convergenz-Beweis 
der Fourier’schen Reihe illusorisch. Im übrigen beruht dieser 
Beweis im Grunde genommen auf einem Umwege, durch 
dessen Benützung er gerade seine Allgemeinheit verliert. Denn 
die partielle Integration in ihrer Anwendung auf be- 
stimmte Integrale ist schliesslich auch nur eine, gewisse 
specielle Voraussetzungen erheischende Folgerung aus der 
partiellen Summation.^) Es wird also der Mittelwerthsatz 
bei dem fraglichen Beweise statt aus der Abel’schen Trans- 
formation selbst, aus einer unter speciellen Bedingungen be- 
stehenden Folgerung derselben hergeleitet. 
Der Netto 'sehe Beweis®) sucht die Bonn et 'sehe Form 
des Satzes durch vollständige Induction zu begründen. 
Bedeuten wiederum x^^, x^, iCj, . . . die einzigen Stellen, bei 
welchen (p (x) einen Zeichenwechsel erleidet, so gilt der 
Satz zunächst, wie unmittelbar zu sehen, für das Intervall 
x^ ^x <i Xy Sodann wird gezeigt, dass seine Gültigkeit stets 
über eine Stelle x hinaus reicht, sofern sie nur bis x fest- 
steht. Dabei wird aber offenbar stillschweigend vorausgesetzt, 
dass überhaujjt eine Stelle ^Cj, d. h. eine erste Stelle existire, 
bei welcher ein Zeichenwechsel stattfindet. Mit anderen Worten, 
der Beweis wird hinfällig, wenn cp (x) in der Nachbarschaft 
1) Man findet ihn auch bei Du Bois-Reymond, Journ. f. Math. 
Bd. 69, p. 82; desgl. Kronecker, Vorlesungen p. 57. 
2) Vgl. Helm, Zeitschv. f. Math. 22 (1877), p. 401. 
®) Zeitschr. f. Math. 40 (1895), p. 180. 
