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250 Sitzung der math.-phys. Classe votn 7. Juli 1900. 
zieliungsweise durch die Punkte A, B, G und Ä, C, P hin- 
durchgelien (bei richtiger Wahl des Sinnes). 
Diese beiden Elemente, absoluter Wert und Argument, lassen 
sich nun leicht in einem Dreieck vereinigt zur Anschauung 
bringen, nemlich dem Fusspunktsdreieck von P in Bezug auf 
das Dreieck Ä B C. Denn in diesem ist (vgl. Fig. 1), da 
C X P Y ein Kreisviereck, 
X Y=CP-smACB, 
ebenso Z Y = A P • sin B A C, 
also 
XY_CP sin C_CP AB _ AB AP 
ZY~ AP' sin A~ AP' BC~ CB' ü P' 
also gleich dem absoluten Wert des betrachteten Dojipel- Ver- 
hältnisses (.ä'j ^2 Der Winkel aber, den diese beiden 
Seiten des Fusspunktsdreiecks einschliessen, nemlich X YZ, ist 
= ^XYPA<^YP=<XCP-\-<^ZAP 
^^APC-<^B, 
d. h. gleich der DilFerenz zwischen den Peripheriewinkeln der 
Kreise A P C und ABC, also gleich dem Winkel dieser beiden 
Kreise selbst, oder gleich dem Argument des gegebenen Doppel- 
Verhältnisses. 
Bei linearer Transformation von der Form 
r = + ß 
y 2 6 
bleibt aber das Doppel- Verhältniss von vier Punkten unge- 
äiulert; folglich muss von Dreieck X YZ bei der Transfor- 
mation in die C-Ebene sowohl X Y : Z Y, als auch der ein- 
ffeschlossene Winkel X Y Z invariant bleiben; es bleibt also 
überhaupt die Form des Fusspunktsdreiecks X VX ungeändert. 
Man erhält somit den bemerkenswerthen Satz: 
Bei linearer Transformation von vier Punkten in 
der complexen Ebene behält das Fusspunktsdreieck je 
des vierten Punktes in Bezug auf das Dreieck der drei 
übrigen Punkte invariante Form. 
