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J. Schiel:: Isogonal een trik und Invariantentheorie. 
Alsbald erkennt man, dass das Doppel- Verhältniss 
BP BA c • sin c sin fx 
C P C Ä h • sin V h sin v 
nur von fi und v abliängt, wie es nach § 1 sein muss. Auch 
sieht man leicht, dass in diesen Formeln eine geschlossene 
Lösung des Pothenot’schen Problems enthalten ist. 
Weiter zeigt sich, dass man bei cyklischer Vertauschung 
für den (A, r, /^)-Isomorphol P' die Formeln erhält: 
AP' = 
h c • sin X 
y sin X • sin fi • sin v ■ ja*- ctg X -f- IP- ctg v + P- ctg /i + 4 
u. s. w., und für die Antiisomorphoie (mit negativem Zeichen 
vor 4 t7) : 
Aq = 
h c • sin X 
y sin X • sin fx • .sin v- {a*-ctg A -)- IP- ctg P- ctgv — 4 J} 
u. s. w. 
§ 21. Wir haben im obigen gesehen, dass jeder Punkt 
in der Ebene eines Dreiecks, betrachtet als (A, /<, vj-Isomorphojiol, 
invariant ist. Es wird sich verlohnen, die wichtigsten der 
merkwürdigen Punkte eines Dreiecks unter diesem Gesichts- 
punkt Revue passiren zu lassen. 
Sind zunächst alle drei Winkel A, /u und v einander gleich, 
JZ 
also je =W 7 so wird das Fusspunktsdreieck X Y Z gleich- 
o 
seitig. Leicht erkennt man, dass alsdann die zwölf Punkte 
sich auf zwei (reciproke) Punkte J und J' reduciren, die so- 
genannten äquianharmonischen Punkte (oder, da sie gleich- 
seitige Fusspunktsdreiecke geben, die „Aequilateralpole“). 
Sie liegen harmonisch zum Schwerpol und Umkreiscentrum; 
Kreise um sie sind die Träger von Isogon alcentren, für welche 
die „Minimaldistanz“ df, resp. d}, im Fusspunktsdreieck con- 
stant ist (vgl. Grundlagen, §§ 21, 73, 74, 135). 
§ 22. Ebenso sieht man leicht, dass die drei Transversal- 
pole T, T' und T" eines Dreiecks invariant sind. Dieselben 
liegen auf der Peripherie des Umkreises; ihre Fusspunkte 
