E. V. Weber: Pf aff’ sehe Systeme. 
275 
In der Tliat, aus unserer Annahme folgt, dass das PfaflF’sche 
System 
(4) d a:,,,-]./, = dxr, /j = 0, . . = 0 
unbeschränkt integrabel sein muss; dazu ist nach dem oben 
gesagten notwendig und hinreichend, dass die n — m hilinearen 
Gleichungen : 
m m 
(5) 2j' 1j'‘ a,is dXi d Xk = 0 (s = 1 . .n — m) 
1 1 
vermöge der Eelationen (4) und der dazu congruenten, in den 
<5 X geschriebenen, d. h. also vermöge der Gleichungen : 
m m 
(6) L Aifk dxi=0, '^JifkSxi = 0 (k^ 1 . .g) 
1 1 
identisch bestehen; dasselbe muss also auch für die Relation 
7^5 O/ & s d Xj ö Xk — 0 
bei beliebigen Werten der A stattfinden, und diese Bedingung 
findet bekanntlich ihren Ausdruck in dem Verschwinden aller 
2, Q 2-reihigeu Determinanten in (3). 
Umgekehrt, sind diese Bedingungen erfüllt, die Gleich- 
ungen (4) also unbeschränkt integrabel und ■ - fr 
ihre Integrale, so kann das System (1) augenscheinlich in der 
Form (2) geschrieben werden. Eine erste notwendige (aber, 
wie sich zeigen wird, keineswegs hinreichende) Bedingung für 
die Möglichkeit der Darstellung (2) ist also die, dass der Rang 
der Matrix 
n — m 
( 7 ) aiks (h Jc=l, . . m) 
1 
nicht grösser als 2 q sei.^) 
3. Die obigen Bedingungen können offenbar auch so 
formulirt werden: 
h Vgl. z. B. mein Buch: „Vorlesungen über das Pfaff’sche Problem“ 
Leipzig 1900, S. 308 £F. 
Diese Bedingung wurde schon von H. Grassmann ausgesprochen; 
vgl. Herrn Engels Note in Grassmanns Werken Bd. I, Abt. 2, pag. 480. 
1900. Sitznngsb. d. math.-phys. Cl. 18 
