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410 Sitzung der math.-phys. Classe vom 3. November 1900. 
aus 00 ^ Geraden, von denen eine und nur eine durch einen 
beliebigen Punkt P des gebt. Sollen oc ^ Congruenz- 
gerade vorhanden sein, so können diese erstens eine dreifach 
ausgedehnte, notwendig lineare Punktinannigfaltigkeit j\I er- 
füllen; dann sind alle Complexe der Schaar speziell, und 31 
ist ihre singuläre Mannigfaltigkeit (Nr. 13). Zweitens aber 
können die oo * Congruenzgeraden den Raum erfüllen, und 
es geht dann durch jeden Punkt P ein lineares Büschel von 
Qc 1 Congruenzgeraden, mit andern Woi'ten; Bedeuten j/j . . 
die Coordinaten von P, so reduciren sich die drei linearen 
Gleichungen : 
L L a.i t]k ii = 0, D ßik Vk ii = 0, 'LH Yik m = 0 
auf nur 2 linear unabhängige. Für jedes Wertsystem >;j . . »/g 
gibt es also drei Grössen p, q. p", die nicht alle verschwinden 
und die Relationen 
L'^ {q a.i + Q ßik + q" 7ik) »/fc = 0 (i = 1 . . 5) 
erfüllen; d. h. jeder Punkt des ist entweder auf der singu- 
lären //g eines speziellen Comjjlexes der Schaar (a ß y) gelegen, 
oder mit dem singulären Punkte eines Complexes der Schaar 
identisch. Diese Schaar muss also aus oo speziellen Complexen 
bestehen, da sonst die singulären bezw. Punkte der oo Com- 
plexe nicht den ganzen Raum erfüllen könnten. 
Die singulären /n^ der oo speziellen Complexe müssen 
ferner eine Gerade g gemein haben. Liegt eine solche Con- 
gruenz vor, so geht in der That durch jeden Punkt P ein 
lineares Büschel von Congruenzgeraden, bestehend aus den Ge- 
raden, die g schneiden. 
Da durch eine gegebene Gerade g nur drei linear unab- 
hängige /<2 hindurchgehen, so schliessen wir: 
Ist eine Congruenz mehr als dreigliedrig, so kann 
durch einen beliebigen Punkt des P^ höchstens eine 
Gerade der Conffruenz hindurchgehen. 
Soll also eine 4-gliedrige Congruenz oo * Geraden enthalten, 
so erfüllen diese eine ebene Mannigfaltigkeit J/; die oo * Com- 
plexe der Schaar sind speziell, 3£ ist ihre singuläre Ebene (Nr. 13). 
