E. V. Weber: Liniencomplexe im 418 
SO wäre unter der Voraussetzung 2) die ganze Gerade g auf 
der singulären Mannigfaltigkeit eines speziellen Complexes e 
gelegen; e wäre also einerseits in der Congruenz (/? y d), 
andererseits in der Congruenz (a e) enthalten, was mit der 
linearen Unabhängigkeit unserer 5 Complexe unverträglich ist. 
Da es ferner nach Nr. 18 nicht mehr als 6 linear unab- 
hängige Complexe mit gemeinschaftlichem singulären Punkt 
geben kann, so existiren für eine mehr als sechsgliedrige 
Congruenz höchstens oo ® Raumpunkte, durch welche 
Congruenz geraden hindurchgehen. 
22. Schliesslich wollen wir noch die Frage erörtern, unter 
welchen Bedingungen eine mehr als dreigliedrige Congruenz 
dreifach unendlich viele Geraden enthält. Der Fall, dass diese 
Geraden den ganzen Raum durchziehen, wurde in den 
beiden vorhergehenden Artikeln erledigt. Es bleibt also nur 
noch die Möglichkeit zu diskutiren, dass die oo * Congruenz- 
geraden eine dreifach ausgedehnte Punktmannigfaltigkeit, d. h. 
also eine „Fläche“ M erfüllen. Durch jeden Punkt P von M 
geht nun der Annahme nach ein System von oc ^ Geraden, die 
auf 21 gelegen sind und ein lineares Büschel bilden, d. h. in 
einer durch P gehenden und auf 21 liegenden zweifach aus- 
gedehnten ebenen Mannigfaltigkeit n. enthalten sind. 
Es sind nun mindestens oo ^ solcher Mannigfaltigkeiten tc 
vorhanden ; gibt es deren weniger als oo so müssen umge- 
kehrt jeder Mannigfaltigkeit n mindestens oo ^ auf ihr liegende 
Punkte P zugewiesen sein, in dem Sinne, dass alle durch einen 
solchen Punkt gehenden und auf n liegenden Geraden unserer 
Congruenz angehören. Dann aber sind alle Geraden, die in n 
liegen, Congruenzgerade ; mithin existiren einfach unendlich 
viele Congruenz-^Wj, und wir ko mm en auf die in Nr. 16 studirten 
Fälle zurück. Unter den dort angegebenen Bedingungen gibt 
es in der That einfach unendlich viele Congruenz-^tg. die ein 
Büschel mit gemeinsamer Axe g bilden und in der „ausge- 
zeichneten Ebene 2P gelegen sind, und infolge dessen auch 
oc ^ Congruenzgerade, die in 21 liegen und einen speziellen 
Pg-Complex mit der Direktrix g darstellen. 
