414 Sitzung der math.-phys. Classe vom 3. November 1900. 
Gibt es dreifach unendlich viele Mannigfaltigkeiten Ji, so 
ist die Fläche 31 offenbar wiederum eine Ebene, und die oo ^ 
Geraden der Congruenz bilden innerhalb derselben einen all- 
gemeinen hnearen J^j-Complex. Die Bilinearformen 
5 5 5 5 5 5 
(32) S Ql ft >?ft, SS ßih • SS £ift yjk 
11 11 11 
reduciren sich also, wenn die Ebene 31 durch die Gleichung 
Ui = 0 dargestellt wird, vermöge dieser Gleichung und der 
dazu congruenten u,j = 0 auf nur eine einzige Bilinearform in 
4 Variabeinpaaren. Durch Bildung geeigneter Linearcombi- 
nationen kann man insbesondere erreichen, dass alle Bilinear- 
formen (32) mit Ausnahme der ersten vermöge ut = 0, u^ = 0 
identisch verschwinden. Dann sind aber alle Complexe der 
Schaar (ß . . e) speziell und besitzen die singuläre Mannigfaltig- 
keit 31 (Nr. 13). Indem wir diese Sätze zusammenfassen, ge- 
langen wir zu dem Resultat: 
Damit eine r-gliedrige Congruenz aus dreifach 
unendlich vielen Geraden bestehe, ohne dass durch 
jeden Punkt des eine dieser Geraden hindurchgeht, 
ist notwendig und hinreichend, dass r = 4 oder 5 sei, 
dass ferner die Pfaff’schen Aggregate ^Ij . . einen 
Linearfaktor L gemein haben, dass endlich im Falle 
r = 4 die durch L = 0 definirte spezielle Congruenz 
eine singuläre Ebene besitze. 
Aus dieser und den beiden vorhergehenden Nummern 
folgt ferner: 
Eine vier- oder mehrgliedrige Congruenz kann 
höchstens zweifach unendlich viele Geraden enthalten, 
ausser wenn die Pfaff’schen Aggregate . . .1- pro- 
portional sind oder einen Linearfaktor gemein haben, 
oder identisch verschwinden. In den beiden ersten 
Fällen besteht die Congruenz aus oo in dem zuletzt 
genannten Fall aus oc * Geraden. 
