F. Lindemaun: Theorie der automorphen Functionen II 495 
Die Untersuchung der Reihe (5) können wir daher auf 
die Untersuchung der beiden einzelnen Reihen 
( 7 ) 
zurückführen und haben dann den Vortheil, dass wir sowohl 
über die Zahl m, als über die in 0 {s) vorkommende rationale 
(oder transscendente) Function noch in besonders gün- 
stiger Weise verfügen dürfen. Von der Zahl m hängt auch 
die Function 0 ab: lassen wir also ni vom Summationsindex i 
abhängen, so können auf den rechten Seiten der Gleichungen 
(7) keine gemeinsamen Factoren vor das Summenzeichen ge- 
setzt werden. Wir können eine solche Abhängigkeit zwischen 
den Zahlen m und i unbedenklich einführen, weil die Gleichung 
(6) eine Identität ist. 
Nach Poincare ist die Reihe 
L /■; (0^ 
( 8 ) 
stets convergent, also sicher lim fl (C) = 0. Man kann dem- 
nach eine Zahl J so bestimmen, dass für alle Werthe von Ä', 
welche grösser als j oder gleich j sind, die Ungleichheit 
abs f'k (0 < 1 
( 9 ) 
erfüllt ist. Da die Reihe (8) gleichmässig convergirt, ist die 
so definirte Zahl von C nicht abhängig; sie kann so gewählt 
werden, dass für alle Punkte t eines endlichen Bereiches die- 
selbe Zahl j genügt. Der Einfachheit wegen können wir uns 
hierbei die Substitutionen so geordnet denken, dass dem grös- 
seren absoluten Betrage von fl (z) ein kleinerer Index ent- 
spricht, ausserdem aber immer f^ (z) = z gesetzt wird. Es ist 
nur zu beachten, dass es vielleicht unendlich viele Substitutionen 
geben wird, denen derselbe absolute Betrag von fl {z) zukommt. 
Jede Substitution /’,• nemlich hängt von vier Constanten a,-, c,-, dj 
ab, die durch die Bedingung a, c?, — b, Ci = 1 an einander ge- 
