F. Lindemann: Theorie der automorphen Functionen II. 507 
einzelne dieser Functionen verschwinden. Die ersteren müssen 
auch als Nullpunkte der Function 0a: (C) = Hx (C) auftreten. 
Letztere kann man durch Aenderung der Definition der 
Function H an andere Stellen bringen; in der That ist 
diese Definition noch in hohem Grade willkürlich: man kann 
auf der rechten Seite von (26) noch eine beliebige rationale 
Function von z als Factor hinzufügen, ohne etwas wesentliches 
an der ganzen Betrachtung zu ändern. Es entspricht dies 
Verfahren ganz demjenigen, welches oben im Anschlüsse an 
die Gleichungen (16), (17) und (18) zur Anwendung kam. 
Die Nullpunkte einzelner Functionen 0, (0 sind daher für 
die Convergenz der Reihe Xj fi (0 nicht von wesentlicher 
Bedeutung. 
Was nun die Nullpunkte und Unendlichkeitspunkte der 
Function Hj> (0 betrilft, d. h. die Nullpunkte der Function 
C — fu (0 /fr (Ot so können sie ebenfalls nicht ein wesent- 
liches Hinderniss der Convergenz bilden. Wäre nemlich C 
z. B. zufällig ein Nullpunkt der Gleichung 
t — fy (0 = 0 oder /„ (0 = 0, 
so lassen wir bei der Definition H, (0 den Factor ( 1 
fort. Es sind dann für das Glied fl (0 der Reihe X fi (0 <^^^6 
obigen Werthe für 0, (0 und 0i (0 nicht anwendbar; es sind 
vielmehr auf den rechten Seiten der Gleichungen (17), (29) 
und (30) für i — v die Summen von = 1 (nicht j 1) bis 
lc = cc zu erstrecken. Für dies eine Glied (0 sind also die 
benutzten Umformungen nicht anwendbar, sie bleiben es aber 
für alle anderen Glieder der Reihe. Diese anderen Glieder 
bilden auch jetzt eine convergente Reihe, und folglich con- 
vergirt auch hier die Reihe X f i (0- 
Diese Ausnahmepunkte stören die Definition der Hülfs- 
Function H (0 und der Zahl j, sie stören aber nicht die 
Bestimmung der Zahl n gemäss den im Anschlüsse an die 
Ungleichungen (37) und (38) getroffenen Bestimmungen. 
Di eR ei he X/^i'(0 ist daher gleich mässigconvergent. 
