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üeber einen Fundamentale atz aus der Theorie der 
periodischen Functionen. 
Von Alfred Pringsheim. 
{Emgelaufen 27. Deieniher.) 
Im folgenden soll unter f (u) ein für allemal eine Function 
verstanden werden, welche keine , unendlich kleine“ Periode 
d. h. in jedem endlichen Bereiche nur eine endliche Zahl 
von Perioden besitzt: eine Eigenschaft, welche bekanntlich jeder 
nicht constanten eindeutigen oder endlich-vieldeutigen 
analytischen Function eo ipso (aber nicht dieser Functions- 
Classe ausschliesslich')) zukommt. Für Functionen dieser Kate- 
gorie gilt dann bekanntlich der von Jacobi*) aufgestellte und 
bewiesene Satz, dass sie höchstens doppelperiodisch sein 
können. Jacobi’s Beweis gründet sich auf die folgenden drei 
Theilsätze : 
I. f{u) kann niemals zwei Perioden cOj, mit reellem 
irrationalen Quotienten besitzen. Ist hingegen — reell und 
rational, so lassen sich roj, o)^ als ganzzahlige Multipla einer 
einzigen Periode o) darstellen. (A. a. 0. § 1.) 
') So können auch unendlich-vieldeutige analytische Func- 
tionen die fragliche Eigenschaft besitzen (z. B. lg /’ ('d)i brauchen sie 
aber nicht zu besitzen (wie z. B. die Umkehrungsfunction eines In- 
tegrals a mit mehr als zwei Periodicitäts-Moduln). Vgl. im übrigen: 
Casorati, Acta niath. T. 8 (1886), p. 341. 
2) Journ. f. Math. Bd. 13 (1835), p. 55—61 (= Ges. Werke, II, 
p. 25—32). 
