A. Pringsheim: Fundamentalsatz für periodische Functionen. 543 
mann auf den Fall einer einzigen unabhängigen Variabein 
übertragen.') 
Die folgende, auf einer anderen, principiell etwas ein- 
facheren Auswahl'') der primitiven Perioden beruhende Dar- 
stellung dürfte den Vorzug grösserer Anschaulichkeit besitzen 
und gestattet überdies auch einen genauen TJeberblick über die 
verschiedenen, bezüglich der Anzahl und der Grössenverhältnisse 
jener besonderen Primitiv-Perioden vorhandenen Möglichkeiten. 
Der Vollständigkeit halber und, um die vollkommene Analogie 
in der Behandlung der einfachen und doppelten Periodicität 
deutlich hervortreten zu lassen, schicke ich auch die Betrach- 
tung desjenigen Falles voraus, welcher den Jacobi’schen Satz I 
involvirt. 
Lehrsatz I. Alle einer Function vom Charakter 
/’(m) zukommenden Perioden ü, welche gegenseitig in 
reellem Verhältnisse stehen, lassen sich als ganzzahlige 
Multipla einer einzigen Periode coj darstellen. 
Beweis. Bedeutet Q irgend eine beliebige Periode, so 
giebt es in Folge der über f(u) gemachten Voraussetzung nur 
eine endliche Anzahl von Perioden mit einem absoluten Be- 
trag ß und somit auch eine endliche Anzahl von Peri- 
oden (jOy., deren absoluter Betrag | coy \ einen bestimmten, von 
Null verschiedenen Minimalwerth besitzt. Wird eine dieser 
letzteren willkürlich ausgewählt und mit coj bezeichnet, so hat 
I ^ I 
man für alle möglichen die Beziehung: j ^| = 1; da aber 
andererseits ~ nach Voraussetzung reell ist, so folgt: 
COy 111 
— = -p 1 , d. h. cOy = -p 0). . 
/■t\ ’ ^ 
') Theorie der analytischen Functionen (1887), p. 368. 
') Noch anders (in wesentlich geometrischer Darstellung) bei Tan- 
nery et Molk, Elements de la theorie des fonctions elliptiques, T. I 
(1893), p. 143, Nr. 83. 
