544 Sitzung der math.-phys. Classe vom 1. Dezember 1900. 
Ist sodann Q wieder eine ganz beliebige der zu coj in 
reellem Verhältnisse stehenden Perioden, so lässt sich — stets 
und nur auf eine einzige Weise in die Form setzen: 
Q 
COj 
wo m eine ganze Zahl und 0 ^ ^ < 1. Darnach wäre aber: 
Q fOj — Q — m cüj und zugleich ^ m, [ < j cOj | , 
d. h. o rOj eine Periode mit kleinerem absoluten Betrage als 
ft)j, was unmöglich ist, solange ^ > 0. Somit muss g = 0 sein, 
worauf dann Ü — m cOj sich ergiebt. 
Folgerungen. 1) Unter den Perioden von f{u) können 
niemals zwei solche Vorkommen, welche ein reelles ir- 
rationales Verhältniss besitzen.^) 
1) Will man dies noch ausdrücklich bestätigen, so kann man sich 
statt der von Jacob i benützten Kettenbruch-Entwickelung von — auch 
der noch elementareren Darstellung von — durch einen unendlichen Deci- 
(U 
malbruch oder sonstigen systematischen Bruch bedienen. Angenommen 
man habe : 
0} .. Ov . . . 
— = hm ^ irrational, 
CO ,,-a, b” 
(wo b eine natürliche Zahl ]> 2, «v eine Folge ganzer Zahlen, die man 
ohne Beschi'änkung der Allgemeinheit als positiv voraussetzen kann), so 
wird für v = 1 , 2, 3, ... : 
also : 
ft)' 
ft) 
Ov -|- Qy 
b" 
, wo : 0 < ßv < 1 
Qv CO = b'’ Co' flv CO. 
Die Qr sind sämmtlich von einander verschieden, da aus Qm — qh 
folgen würde: 
h'>‘ co' — 0)11 ft) = ö” ft)' — Oh CO 
d. h. 
CD ihn — (in 
(o ~~ b”> — b>‘ ’ 
d. h. rational. 
Es gäbe also in dem endlichen Bereiche u = q co (0 <C !? <^ 1) 
unendlich viele Perioden Qy co, was der Voraussetzung widerspricht. 
