A. Pringsheim: Fundamentalsatz für periodische Functionen. 545 
2) Besitzt f{u) nur Perioden Q mit reellem Verhältniss 
so ist f {u) einfach, periodisch, und die , primitive“ Periode 
von f {u) ist eine der beiden nach Willkür zu wählenden Zahlen 
+ cOj, für welche j co, | ein Minimum wird. 
3) Da umgekehrt für jedes einfach periodische f {u) alle 
Perioden-Quotienten reell (und rational) ausfallen müssen, so 
folgt weiter: Finden sich unter den Perioden von f {u) irgend 
zwei: a) = ^-\-rji., co = i mit nicht-reellem Ver- 
hältniss : 
ö/ _ II' -f rj' 1 1 ]' — k' rj 
0) 1^ 1'^ “h 
wo also : | I — |' j; | > 0 , 
so kann f{u) nicht einfach periodisch sein. Um festzustellen, 
dass alsdann /"( m) genau doppelperiodisch sein muss, beweisen 
wir zunächst den folgenden 
Hülfssatz. Sind co, co' Perioden von f{u) mit nicht- 
redleni Verhältniss und ausserdem von der Beschaffen- 
heit, dass ausser h — co und h = co Tidne Zahl von der 
F 0 r in : 
h = E (O E fü'. 
« + ^ 1 
eine Periode von f{u) bildet *), so lässt sich jede Periode 
Q in der Form darstellen: 
Q = m 0 ) -\- n 0 ) 
wo w, n ganze Zahlen (einschliesslich der Null) be- 
deuten; co, oi heissen alsdann primitive Perioden. 
Beweis. Zunächst lässt sich jedenfalls Q (wie für jede 
beliebige Zahl durch Auflösung der betreffenden 2 Linear- 
gleichungen folgt) stets und nur auf eine einzige Weise in der 
F orm darstellen : 
ü ~ a (JO h ojf (a, b reell bezw. Null), 
Diese Bedingung besagt geometrisch, dass im Innern und auf 
den Seiten des Dreiecks mit den Eckpunkten 0, co, o/ keine Perioden 
ausser w, w' liegen sollen. 
