A. Pringsheim: Fundamentalsatz für periodische Functionen. 547 
Beweis. Es werde unter der (jedenfalls endlichen) 
Anzahl von Perioden Q, deren absoluter Betrag einen gewissen 
von Null verschiedenen Minimalwerth besitzt, irgend eine 
beliebig ausgewählt und mit cOj bezeichnet. Alsdann ist zu- 
nächst auch — 0 ), eine Periode mit dem absoluten Betrage r,. 
Im übrigen sind dann nur folgende zwei Fälle möglich : 
Erster Fall. Es existiren ausser + cOj noch andere 
Perioden mit dem absoluten Betrage . Bezeichnet man eine 
derselben mit co^, so folgt leicht aus dem eben bewiesenen 
Hülfssatze, dass cOj, cog primitive Perioden. Betrachtet man 
nämlich alle Zahlen h von der Form : 
(1) h = coi -f co^, wo: I > 0, ^ 1 , 
so folgt zunächst für = 0, bezw. = 0, dass : 
h = cOj bezw. h = co^ 
wird, sodass unter diesen speciellen h nur die beiden folgenden: 
h = coj h = cog 
Perioden sind. Ist dagegen > 0, 0, so hat man: 
I I = I coj ' • + )?2 ■ “ 
mit Ausschluss der Gleichheit, da | — =1, aber — von 
CÜj COj 
4-1 verschieden; also schliesslich: 
I Ä I < ; m, = ; «2 I 4, 
sodass in Folge der Auswahl von cOj keine dieser Zahlen It 
eine Periode liefern kann: nach dem obigen Hülfssatze müssen 
also (Oj, a »2 primitive Perioden sein. 
Zweiter Fall. Es seien + m, die einzigen Perioden 
mit dem absoluten Betrage Man scheide dann aus der 
h Dies ist übrigens geometrisch unmittelbar ersichtlich. 
