A. Pringsheim; Fundamentalsatz für periodische Functionen. 549 
Zwei specielle primitive Perioden, wie die oben näher 
charakterisirten und mit cOj, cog bezeiclineten, mögen Minimal- 
Perioden genannt werden. Aus den bisherigen Betrachtungen 
geht dann nur soviel hervor, dass es jedenfalls nur eine end- 
liche Zahl solcher Minimal-Perioden geben kann. Um 
deren mögliche Anzahl genauer festzustellen, stützen wir uns 
auf den folgenden bekannten Satz: 
Sind CO, co' primitive Perioden, so sind 
cö = a CO -p co', cö' = 7 oj -f- d co' 
dann und nur dann gleichfalls primitive Perioden, wenn 
ö, /d, 7 , d ganze Zahlen (einschliesslich der Null) bedeuten, 
welche der Beziehung genügen : 
ad — ß y = -^1 . 
Hieraus folgt speciell, wenn man einmal a = 1, ß = 0, 
also d = + 1, 7 beliebig, das andere Mal 7 = 0, d = 1, also 
a = + 1 , ß beliebig annimmt: 
Bilden (co, co) ein primitives Periodenpaar, so sind 
alle primitiven Paare, bei welchen eine der Perioden co 
bezw. co' beibehalten wird, in der Form enthalten: 
( 1 ) (m,7aj+co') bezw. ( + m ^^| = 0 ,Hrl, + 2 ,.. . 
Umgekehrt ist jedes solche Periodenpaar ein primitives. 
Mit Hülfe dieses letzteren Resultates können wir jetzt den 
Lehrsatz H, nach welchem — abgesehen von dem noch beliebig 
bleibenden Vorzeichen — mindestens zwei Minimal-Perioden 
existiren, in folgender Weise ergänzen. 
Lehrsatz HL Es giebt, abgesehen von dem noch 
willkürlich bleibenden Vorzeichen, höchstens drei Mini- 
mal-Perioden, d. h. drei paarweise in nicht-reellem 
Verhältnisse zu einander stehende, noch nach Willkür 
mit beliebigem Vorzeichen zu versehende Perioden 
cOj, ojg, CO 3 , die der Bedingung genügen: 
COj 0 )^ ] I CO 3 I , 
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