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Neuer Beweis für die Produktdarstellung der ganzen 
transzendenten Funktionen endlicher Ordnung. 
Von Georg Pölya in Zürich. 
Vorgelegt von A. Pringsheim in der Sitzung am 8. Januar 1921. 
1. Der Satz, den ich beweisen werde, und der wohl als 
der Hauptsatz der Theorie der ganzen Funktionen endlicher 
Ordnung gelten kann, lautet wie folgt: 
Es sei g(ß) eine ganze Funktion, «j, a^, . . . seien 
ihre von 0 verschiedenen Nullstellen, 0 = 0 sei eine 
m-fache Nullstelle (m ^ 0). Es sei A die Ordnung von 
g{z), p die zu A linksnächste ganze Zahl (p ^ A Kp -|- 1). 
Dann ist die Reihe 
( 1 ) 
+ 
1 
«2 ' 
+ 
1 
«3 P+* 
+ • • • 
konvergent und es ist, das Produkt TT über sämtliche 
Nullstellen «j, « 3 , ... erstreckt ” 
( 2 ) 
1 — ^ 
O'nJ 
wobei Q{ß) eine ganze rationale Funktion ist, deren 
Grad p nicht übersteigt. 
Der Beweis dieses Satzes rührt von Hadamar d^) her. 
Der Hadamardsche Beweis hat im Laufe der Zeit viele Wand- 
lungen erfahren, und man kann wohl sagen, daß er heute in 
*) J. Hadamard, Etüde sur les proprietes des fonctions entieres 
et en particulier d’une fonction consideree par Rieraann. Journal des 
Math. (4) 9, 171—215 (1893). 
