Neuer He weis für die I’rodiiktdarstellun» etc. 
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Die Hilfssätze. 
I. In einem beliebigen Kreis der 4^-Ebene, an dessen 
Peripherie g(z) nicht verschwindet, hat Pn(^) ebenso- 
viel Nullstellen wie g(z), wenn n eine gewisse Grenze 
übersteigt^). 
Am Rande des besagten Kreises hat g{^), ein bestimmtes 
Minimum ii, u >> 0. Falls an diesem Kreisrand 
(5) g(£!) — P„{e) </t 
ist, hat P„ (s) = g{£) {P„(£!) — g{2)) ebensoviel Nullstellen 
im Kreise, wie g{P), nach einem bekannten Satze von Rouche^). 
Jedoch (5) muß an dem ganzen Kreisrand für genügend großes 
n erfüllt sein, wegen der gleichmäßigen Konvergenz der Potenz- 
reihe (4), 
II. Es sei ^(0) 4- 0 und es seien «j, ctg, a^, . . ., a,,, . . . 
die Nullstellen von g -{- • • • mit richtiger 
Vielfachheit gesch rieben und so geordnet, daß 
(6) 0 < Oj I ^ j Og ^ «3 < • • • . 
Dann ist®) für jedes r > 0 und für /^ = 1, 2, 3, . . . 
(7) c,‘r‘+ 
t 
Ist iß,. <r<ja,,^i , so ist unter allen Produkten 
r r r r r r r r r r 
ßj j ^2' I 1^2 ^*'1 1^1 ^2 1 
keines größer, als das r-te, wie der Aufbau aus sukzessiven Fak- 
toren zeigt, mit Rücksicht auf (6). Es i.st somit, wenn fi < v, 
H A. Hurwitz, Über die Nullstellen der Besselschen Funktion 
Math. Ann. 33, 246—266; vgl. S. 249. 
Ü Sur la Serie de Lagrange. Journ. Üc. polytechn. Cah. 39 (1862), 
p. 217-219. 
®) A'^gl. E. Landau, Sur quelques theoremes de M. Petrovitch rela- 
tifs aux zeros des fonctions analytiques. Bull, de la Soc. math. de 
France 33 (1905), p. 259. 
