Neuer Beweis für die Produktdarstellung etc. 
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gesetzt wurde. Aus (14) geht hervor, daß die Zahlen 
g'j, . . . positiv sind. Es ist nach (13) 
(15) \ 
4- gi^ I g2^ . 
^_|_1 + + 
Die Reihe in Klammer rechts in (15) hat positive Koef- 
fizienten; ihren größten Wert im Kreise |.?|^1 nimmt sie 
daher im Punkte z = \ an. Dieser größte Wert ist = 1, 
nach (15), da lE^p(l) = 0, 1^+’ = 1. Damit ist Hilfssatz III 
bewiesen. 
Ich betrachte jetzt l simultan gegebene Zahlenfolgen 
Ml, M2, Ma, 
(16) 
Ml, M2, U 3 , ... U, 
Ml , 
Ul 
(0 
(0 
M3 , 
(0 
n 1 • • • 
Ich sage, daß diese Z Folgen kollektiv genommen gegen 
die Grenzwerte m', streben, wenn zu jedem e, e > 0 
eine ganze Zahl N existiert, derart, daß für jedes n'> N eine 
Permutation ij, i^, ... ii der Zahlen 1, 2, 3, ... Z angegeben 
werden kann, für welche die Ungleichungen bestehen 
M„ << £, U^n^ — M„| < £, ... | m1‘‘’ M^^ | ■< £. 
Mit andern Worten : die l gegebenen Folgen sollen durch 
gewisse Vertauschungen von Elementen von gleichem unteren 
Index (wie m^*^^ und m^*') in l neue Folgen 
v'l, V 2 , V 3 , ... V„, ... 
Vl, V 2 , V 3 , ... V„', ... 
V'l 
(i) 
d) 
n , • . . 
verwandelt werden können, derart, daß 
lim v„ = u , lim v„ = u , ... lim v^n — 
>1 = 00 n = co H = (» 
Sitznngsb. d. math.-phys. Kl. Jahrg. 1921. 
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