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G. Pölya 
Der Beweis. 
Ich nehme an, daß ^(0) 0 ist. Diese Annahme beein- 
trächtigt nicht die Allgemeinheit, denn sie kommt darauf hinaus, 
die beiden Seiten der zu beweisenden Gleichung (2) mit z'" zu 
dividieren. Ich bezeichne die Xullstellen von g{z) mit «j, 
« 3 , ..., mit richtiger Vielfachheit geschrieben und nach wach- 
senden absoluten Beträgen geordnet, wie im Hilfssatz II. Ich 
betrachte Kürze halber nur den Fall explicite, wo g{z^ un- 
endlich viele Xullstellen hat. Besitzt giz) nur A" Xulistellen, 
so ist der Beweis nur unwesentlich zu modifizieren, insbeson- 
dere bleiben alle Formeln richtig, wenn 
für n > N. 
1 
ein 
als 0 gelesen wird 
Ich betrachte nur solche durch (3) definierte Partialsummen 
P„ (z) der Potenzreihe (4), in denen c„ 4^ 0 ist. Wenn ich so 
eventuell gewisse Werte von n auch unbeachtet lassen muß, 
habe ich auf alle Fälle mit einer unendlichen Auswahl von 
Partialsummen zu tun. Nach dem Fundamentalsatz der Al- 
gebra ist 
( 22 ) 
-Pn(^) = Co 
WO die Numerierung so erfolgt, daß 
0<|a„i| <la„o ^|a„3|^. . . <|a„„ . 
Eine ganze transzendente Funktion g{z) heißt von der 
Ordnung Ä, wenn folgende zwei Bedingungen erfüllt sind: 
Ist /?>H, so ist g{z)e~ ^ in der ganzen ^f-Ebene be- 
schränkt. 
Ist a<.A, so ist g{z)e~ nicht beschränkt. (Im Spe- 
zialfall yl = 0 fällt diese zweite Bedingung fort.) 
Ich denke ß fest gewählt, A<.ß<.p-\-\, oder, anders 
ausgedrückt : 
(23) 
pA- 1 =ßil-^>]), 
I] > 0 . 
