Die Torsion runder Stühe von veränderlichem tiuerschnitt. 75 
an Null liegen, die asymptotische Darstellung nicht mehr 
brauchbar ist. Eigentlich müßten wir die untere Grenze des 
Integrals nicht gleich Null, sondern einem positiven Wert 
gleichsetzen, um die asymptotische Darstellung der Besselschen 
Punktionen fürs ganze Integral anwenden zu dürfen. Nennt 
man die untere Grenze etwa 6, das irgend eine positive große 
aber endliche Zahl vorstellen soll, so kann man durch Ein- 
führung der Substitution Ic = h die untere Grenze des 
Integrales wieder zu Null machen. Unter dem Integral lassen 
sich dann ohne Bedenken die Besselschen Funktionen durch 
ihre asymptotischen Werte ersetzen. Man erhält alsdann für 
die Größen p, 2 und für die Spannungskomponenten Integral- 
darstellungen, die für & = 0 mit den unten folgenden Glei- 
chungen (24) übereinstimmen. Man überzeugt sich leicht, wie 
ich hier nicht näher ausführen will, daß gerade für den Grenz- 
fall, den wir unten betrachten werden, das Glied & = 0 bei 
einer Entwicklung nach h das allein ausschlaggebende ist, 
so daß für den Grenzfall die unten folgenden Formeln keine 
Näherungsformeln mehr sind, sondern ihnen exakte Gültigkeit 
zukommt. Auch ohne diesen Umweg über eine von Null ver- 
schiedene untere Grenze, sieht man, daß bei einigermaßen 
großem n der Beitrag, der bei Einführen der asymptotischen 
Darstellung der Besselschen Funktionen von den kleinen Wer- 
ten Ti herrührt, gegenüber dem anderen Teil nicht wesentlich 
in Betracht kommt. Dabei ist zu bedenken, daß durch die 
asymptotische Darstellung die Besselschen Funktionen bis ver- 
hältnismäßig nahe an den Nullpunkt gut wieder gegeben werden. 
Namentlich für sehr große Werte n, für die wir sogleich eine 
Anwendung machen, wird der Fehler bei kleinem Tc sehr ge- 
ring. Mittelst der asymptotischen Darstellung der Besselschen 
Funktionen ergibt sich unter Verwendung der aus der Trigo- 
metrie bekannten Formeln für die Produkte der cos und sin 
zweier Winkel: 
