167 
Über die Reihen von Laplace und Legendre. 
Von Otto Volk. 
Vorgelegt von F. Lindemann in der Sitzung am 5. Februar 1921. 
Die folgende Arbeit gibt im ersten Paragraphen des I. Teils 
einen elementaren Beweis eines Satzes von Gronwall über die 
Hölderschen Mittel erster Ordnung der Laplaceschen Reihe, der 
außer den bekannten Laplaceschen Formeln für die Kugel- 
funktionen keines weiteren Hilfsmittels bedarf. In einem zweiten 
Paragraphen wird ein Satz von L. Fejdr über die Hölderschen 
CO 
Mittelwerte zweiter Ordnung der speziellen Reihe S (2 w 1) 
0 
Pn (cos ff) auf direktem Wege bewiesen. Im letzten Paragraphen 
des 1. Teils werden einige mit den vorhergehenden verwandte 
Reihen betrachtet, die ebenfalls mit der Potentialtheorie in 
engem Zusammenhang stehen. Im 11. Teile wird der in I, § 1 
bewiesene Satz von Gronwall in derselben elementaren Weise 
für Cesarosche Mittelwerte der Ordnung < Ä < 1 bewiesen. 
i. Höldepsche Mittel der Ordnung 
§ 1. Die Hölderschen Mittelwerte erster Ordnung 
der Laplaceschen Reihe. 
Von der Reihe 
00 2 W ~\“ 1 ^ 
(1) S 9 S F{ff‘)P„icosff‘)smff‘d ff\ 
n = 0 ^ 0 
auf die sich bekanntlich die Laplacesche Reihe durch Koor- 
