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0. Volk 
dinatentransforraation zurückführen') läßt, haben Fejer* *) und 
GronwalP) gezeigt, daß die Folge der Hölderschen und also 
auch der Cesaroschen Mittelwerte zweiter und erster Ordnung 
der Partialsummen nach F (0) konvergiert. Der Kernpunkt 
der Ableitung Gronwalls liegt in dem Nachweise, daß 
(2) JlZ-„*(l,l?)lsin#(Z<^ 
0 
für alle n unterhalb einer festen Grenze bleibt, wenn 
(3) £„(1,1?) = ^ P,(C0S^) + |P,(C0S^) + - ■ ■ + Pn(C0S1?), 
(4) (ir,(l,d) + X, (1, d) + . ■ • + (1, ,»)) 
/Z- "T" 1 
ist. Dieses Resultat hat kürzlich E. Hilb') abgeleitet, indem 
er als wesentlich neues Hilfsmittel eine asymptotische Darstel- 
lung von P„{cos§) benützte, die bei großen n für alle Werte 
0 < < 71 gilt. Im folgenden soll dieses Ergebnis nur mit 
Hilfe der Laplaceschen Formeln*) abgeleitet werden. 
Bekanntlich ist nach Laplace: 
( 5 ) 
71 
Pn (cos ^) = ^ r (cos 1 ? — i sin cos (p)" d(p, 
71 J 
( 6 ) 
71 
dcp 
(cos ^ i sin cos 93 )" + ' ' 
*) Vgl. z. B. E. Hilb, Über die Laplacesche Reihe. Math. Zeitschrift, 
Bd. 5, 1919, S. 17. 
L. Fejer, Über die Laplacesche Reihe. Math. Annal., Bd. 67, 1909, 
S. 76—109. 
®) T. H. Gronwall, Über die Laplacesche Reihe. Math. Annal., Bd. 74, 
1913, S. 213 — 270. Weitere Literatur s. E. Hilb, 1. c. 
*) In ähnlicher Weise hat C. Neumann (Beiträge zum Studium der 
Randwertaufgaben, Abhandlungen der Sächsischen Akademie der Wissen- 
schaften, math.-phys. KL, Bd. XXXV, VII (1920), S. 526 f.) die Laplace- 
schen Formeln zur Berechnung von A’P„(cosi?) verwendet. 
