174 
0. Volk 
§ 2. Über einen Satz von L. Fejer über die Hölder- 
schen Mittelwerte der speziellen Legendreschen Reibe 
£ (2 » + 1) P„ (z). 
0 
Von der Reihe 1](2 w 1) P„(a;) hat L. Fejdr^) den 
0 
Satz bewiesen : 
Für die Hölderschen Mittel zweiter Ordnung s‘, 
ist lim sü (a;) = 0, wenn — 1 ^ a: < 1 ist. 
*1 = 00 
Dieser Satz, den Fejer mittels der Cesaroschen Mittel- 
werte bewies, soll auf direktem Wege bewiesen werden. 
Nach (12) ist, wenn wir a; = cos setzen: 
r. Q\ 1 I r d /l— + dw 
s;, = 2 X* (1, i^) = T- - Y — U' V ( — i ) • V ' - 
(w-l-l)^L d dw\ 1—w J \ —Wy 
-J 
(w^ 4- w) (1 — w;"+') 
(1 —wy 
d(p\^. 
Somit wird: 
Sn = 
(17) 
r - /v 
( 1 . 
^n + 2\ 
1 
Vw 4- 1 
w -h 1/ 
\ IV d(p 
(w 4- 1) ^ 
dw\ 
0 
1 — IV y 
1 — tv 
C IV 10^’ ^ f 1 + ' \ 
“ J (1- wY 0 U + 1 ~ n + i; 
Nun ist 
wo C die Eulersche Konstante ist; ferner 
** r ri — 
(18) ^ ^ X = H ^ T" 
1 — tv” + ' 
Vgl. L. l’ejer, Über die Laplacesche Reihe. Math. Annal., Bd. 67, 
1909, S. 81 ff. 
