llber die Reihen von Laplace und Legendrc. 
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553 . Über die Reihen (2 w — 1) ^Pn{x)dx, 
0 J 
£ 
\ 1 
(2 n — 1)* * r Pn (^) dx und (2 n — 1)* f P„ (x) dx. 
0 {) J 
X X 
Das Potential TP einer doppelt belegten, unendlich dünnen 
Kreisscheibe läßt sich durch die unendliche Reihe darstellen ; 
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(20) TT ^ i (i-0) J PinJr\iß)dfi • P2n + i («) Tt^^n + i («); 
0 
dabei ist 
X = Q cos 99 ; p = 7. • cos ö; u = i 0in 7, 
y = Q sin 99 ; z = Sin 7 • sin 1 ?; v = sin 
z = z\ 
Auf der Scheibe selbst, d. h. für m = i • 0 nimmt TF für 
V > 0 den Wert -}- 1, für ^; < 0 den Wert — 1 an *). Es ist also 
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(21) l](4n + 3) rP2„+i(^i)‘^,“ + i (i^) = T fürv>0 
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(22) £](4w + 3)Jp2„+iCu) d/i-P 2 „ + i(v) = — 1 für v<0. 
Wir betrachten zunächst die Reihe (21) für v = \, wobei 
wir aber statt der untern festen Grenze des Integrals die ver- 
änderliche X einführen. Wir erhalten so die Reihe ^) 
*) Vgl. hierzu meine nicht im Druck erschienene Dissertation an 
der Technischen Hochschule in München: Studien über einige Randwert- 
aufgaben der Potential theorie, S. 11 fif.; vgl. auch C. Neumann, Über 
die nach Kreis-, Kugel- und Zylinderfunktionen fortschreitenden Ent- 
wicklungen. Leipzig 1881. S. 111 fF. 
*) Es genügt, die Reihe (23) zu betrachten, da sich das folgende 
durch eine geometrische Betrachtung leicht auf die allgemeinere Reihe (21) 
übertragen läßt. Vgl. meine eben in 1) genannte Dissertation 1. c. und 
C. Neumann, 1. c.; vgl. auch C. Chapman, On the Summability of Series 
of Legendres Functions. Math. AnnaL Bd. 12. 1912, S. 218. 
Sitzungsb. d. math.-phys. KI. Jahrg. 1921. 12 
