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0. Volk 
(23) S = i (4 » + 3) f P 2 ,. + i (//) du. 
0 J 
X 
Entwickelt man den Ausdruck 1^1 — 2). x -\- nach 
positiven Potenzen von A, so erhält man 
Kl — 2 / a; + ;.» = Lo(a;) 4- L^{x) ■ ). -j- L^(x))r 4 
4- Ln (^) • A" 4" ' • • ! 
die Funktionen Lq[x), L^(x), L^{x), + • • • sind mit den 
Heineschen Zugeordneten (a:)') oder den metasphärischen 
Funktionen K~^^'"{x) Nielsens^) identisch und es ist: 
= L^ix) = —x, 
I 
(24) L„{x)= { P„-i{x)dx (« >!). 
■X 
Ferner ist* *) 
(25) X„ (x) = P„{x) — 2x P „ - 1 (a:) 4- P,. _ ? (a-) 
oder, wenn man berücksichtigt, dah 
2 a: P„_i(a:) = - ^ {n P„{x) 4 - (?? — 1) J^._ 2 (^)^) ist: 
sLn — 1 
1 
( 2 G) Ln (a;) = ^ j P» - 2 {x) — P,. (a:) = J P,. _ , (x) dx (w > 1 ). 
X 
Setzt man diesen ^Vert in (23) ein, so erhält man 
S = Po(a) — Pj (a:) + P^ (a:) — P 4 (a;) 4 - • • • oder 
(27) S = P,ix) = 1 für — Ka- < 1. 
Für a = ± 1 nimmt S den Wert 0 an. 
4 Vgl. E. Heine, Handbuch der Kugelfunktionen, Leipzig 1878, 
Hd. I, S. 148. 
4 Vgl. N. Nielsen, Theorie des fonctions inetaspheriques, Pari.s 
1911, S. 56. 
Vgl. C. Neumann, Beiträge zum Studium von Randwertaufgaben, 
Abhandl. d. sächs. Akad. d. Wissensch , math.-pbys. Kl. XXXV, \ 11, S. 519. 
*) Vgl. E. Heine, 1. c , S. 91. 
