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H. Liebmann 
Die vereinfachte Ableitung des Satzes über die Kanten- 
winkelsumme im Paralleldreikant und seiner wichtigsten Folgen, 
außerdem die erwähnte geodätische Abbildung bilden zusammen 
den Gegenstand der folgenden Ausführungen, Es folgt am 
Schluß noch der Hinweis auf eine paradoxe Erscheinung. 
§ I. Sätze und Konstruktionen der hyperbolischen Geometrie^). 
Die hier zu wählende Art der Begründung der Haupt- 
eigenschaft des Paralleldreikantes erfordert gewisse Vorkennt- 
nisse, die zunächst zusammengestellt werden sollen. Dabei ist 
vor allem Wert darauf zu legen, daß späterhin niemals Kon- 
struktionen verwendet werden, für die zugängliche und zuver- 
lässige Beweise nicht vorliegen. Diese an sich selbstverständ- 
liche Forderung muß hier mit Rücksicht auf § 3, Nr. 3 ganz 
besonders betont werden. 
1. Die Transitivität. Mit Hilbert sagen wir von zwei 
parallelen (stets in einer Ebene gelegenen) Halbstrahlen Äj, 
sie haben ein „Ende“ gemein. Dieses Wort wird voll 
gerechtfertigt durch die der Beziehung „parallel“ zukommende 
Transitivität, das heißt durch den Satz: Sind \ und h.^, 
und Ä 3 parallel, dann sind auch und parallel. Diese 
Transitivität gilt auch ira Raum, und es ist daran zu erinnern, 
daß die durch einen beliebigen Punkt P und die parallelen 
Halbstrahlen A, und gelegten Ebenen (P, Äj) und (P, h^), 
wenn sie nicht gerade zusammenfallen, wenn also P nicht in 
der Ebene (Äj, h^) liegt, einander nach einem zu und 
parallelen Halbstrahl schneiden. 
2. Die geometrischen Grundaufgaben. Die folgenden 
drei Grundaufgaben können elementar geometrisch und ins- 
besondere, ohne daß man für die Beweise der Konstruktionen 
die Raumgeometrie heranzuziehen braucht, gelöst werden. 
Die Konstruktion des gemeinsamen Lotes zweier einander 
nicht schneidenden und nicht parallelen Geraden. 
1) Vgl. hierzu den Abschnitt C (Elementare nicht-euklidische Geo- 
metrie) des Artikels III AB9 (Zacharias) der Mathem. Enzyklopädie. 
