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n. Liebmann 
Alle weiteren Punkte 1\ . . . sind definiert als korrespon- 
dierende Punkte zu 1\ (§ 1 , Nr. 3) auf den zu </, parallelen 
(Nebenachsen) g^, 9^ • ■ ■ 
Wir wollen zeigen, daß diese Nebenachsen mit der Haupt- 
achse gleichberechtigt sind, d. h. daß auch der zu (auf g^) 
korrespondierende Punkt von g^ ist. Diese erweiterte Tran- 
sitivität der Korrespondenzbeziehung folgt leicht aus 
der für die Ebene in § 1 , Nr. 3 erwiesenen. Man braucht nur, 
wie am Schluß der vorigen Nummer g^ auf (^ 2 ^ 3 ) zu proji- 
zieren und den zu P, korrespondierenden Punkt auf dieser 
Projektion Aj zu beachten, desgleichen den zu Pj im Sinne 
von § 2, Nr. 6 korrespondierenden ^ 2 , der auf der zu g^ kor- 
respondierenden, zur „Fallebene“ (g^, 7j,) längs g^ senkrechten 
Ebene liegt. Es bilden dann P, P^ ein symmetrisches 
Viereck korrespondierender Punkte, also sind insbesondere 
^j, P 2 korrespondierende Punkte auf h^, g^, 
ebenso Q^, P3 , „ „ 7t,, ^ 3 . 
Daher sind (§ 1, Nr. 3) die Punkte P^ P 3 ebenfalls korre- 
spondierend auf g^, g^. 
Wenn man also, von P^ und g .2 ausgehend, dieselbe Kon- 
struktion ausführt, wie zuvor von P, und aus, so erhält 
auf jedem zu g^ und g^ parallelen Halbstrahl g^ wieder den- 
selben Punkt Py. 
Alle Achsen sind also gleichberechtigte Sym- 
metrieachsen (Drehachsen) der Grenzkugel. 
Hieraus in Verbindung mit dem Satz von der Winkel- 
summe im Paralleldreikant, der sich auf das von drei (durch 
P„ enthaltende Diametralebenen ausgeschnittene) Grenzkreis- 
bogen gebildete Dreieck überträgt, folgt die Giltigkeit der 
euklidischen Geometrie auf der Grenzkugel. 
3. Rückblick. Die Verwendung der Eigenschaften der 
aus Fallgeraden gebildeten rechtwinkligen Vierkante, der 
P„ -Büschel von Ebenen (§ 2, Nr. 5) und die gehörige Heran- 
ziehung von Spiegelbildern (Symmetrien) gibt einen viel natür- 
licheren Zucrancr zu den Fundamentalsätzen als die klassische 
