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A. l’ringsheiin 
Cdx / \ * 1 /2 7ri\’' _ . 
I = lun w \e “ — 1/ = liin n • ( \ = 2ni. 
J OC n— *-oc M-fcc 
+ (1) 
Es verdient übrigens bemerkt zu werden, dalä der frag- 
liche Grenzwert auch ohne Benützung der transzendenten 
Einheitswurzelforin und somit das betretende Integral ohne 
jedes transzendente Hilfsmittel berechnet werden kann. 
Setzt man nämlich speziell; n = 2”' und bezeichnet mit 
Om — ßm -f- ;'m* die 2”'te, durch iterierte positive Quadratwurzeln 
darstellbare Haupteinheitswurzel (d. li. diejenige mit maxi- 
malem ßm und positivem so hat man analog wie oben: 
Xy = n'm (r = 1, 2, . . . 2"'), 
und daher; 
(1) ( = lim 2’'‘(a„. — 1). 
^ )» — ► X 
4-(i) 
Nun läht sich zunächst die Existenz von lim 2'’*| a,„ — l| 
»I— ► X 
in folgender Weise arithmetisch feststellen. Man hat: 
0,fi — h ßm — k J'mi i , 
also (wegen ßf„ -j- ;’m = 1 ) : 
(2) /?,„ + , = 1 ■-> ( 1 + ßm) , + 1 = Vi ( r=7:,) . 
Hiernach wird : 
a„. - 1 = V{ßm -- 1)^’ = V2(r^Jm) 
~ 2 ym + i 
und daher: 
(3) 2"‘ia„. — 1| = 2"‘ + J7,„ + ,. 
Des weiteren läfät sich zeigen, dali die Zahlen 2’’ y,. eine 
mit wachsendem )• monoton zunehmende und beschränkte, 
also schließlich konvergente Folge bilden. Man findet nämlich 
wegen + i < l und mit Berücksichtigung von Gl. (2): 
