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F. Lindemann 
4. Die Bestimmung aller Flächen, welche mit einer ge- ! 
gebenen Fläche das sphärische Bild der Krürnmungslinien ge- 
mein haben, wird sonst auf eine Laplacesche Gleichung mit 
gleichen Invarianten zurückgeführt, d. h. auf eine Gleichung 
von der Form 
(14) 
3 - 0 
dUdV 
= lc-0, 
WO k eine gegebene Funktion von u und v bedeutet; die' 
Variabein u, v sind hier die Parameter der Krümmungslinien. 
Umgekehrt ist durch obige Entwicklung die Lösung der 
Gleichung (14) auf die partielle Gleichung erster Ordnung (11)1 
zurückgeführt. Um dies näher zu verfolgen, müssen wir die 
betreöenden Untersuchungen von Darboux^) kurz mitteilen.' 
Die Gleichung der Tangentialebene der Kugel an einem 
Punkte des sphärischen Bildes ist nach (7): 
cosin •a:i-sin ,r — M-l-Jsin -- 
2 2 2 
, • f'- — 
z cosin — = 0 , 
also die Gleichung der parallelen Tangentialebene der gegebenen 
Fläche, wenn 
(15) a = cotg-|^7. , T = cotg-|^/t 
gesetzt und x durch z, y durch x, z durch y ersetzt wird, 
wie bei Darboux: 
(16) {p -\- x) X i{T — o)y {aj — \)z -Y ^ 
wo I eine Funktion von o und x bezeichnet. Sind dann p, q 
die partiellen DiflFerentialquotienten von ^ nach o und r, alsc 
s" = J (pdo -}- qdx), 
so ist die Differentialgleichung der Krümmungslinien : 
(17) dpdo — dq'dx = 0. 
Hat mau diese integriert und bedeuten u, v die Para- 
meter der Krümmungslinien, so bestehen Gleichungen der Form 
Vgl. a. a. 0. t. IV, p. 21 ff. und 170 fif. 
