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Zur Theorie des Doppel-Integrals. 
Von Alfred Pringsheim. 
( Eingelaufen 15. Januar ) 
Nachdem Riemann, den Cauchy-Dirichlet’schen In- 
tegral-Begriff wesentlich erweiternd, die Grundlage für die 
moderne Theorie des einfachen bestimmten Integrales ge- 
schaffen hatte, lag es nahe, auch den Begriff des mehrfachen, 
insbesondere des Doppel-Integrales in analoger Weise zu 
vervollkommnen. Die Verallgemeinerung der betreffenden Defi- 
nitionen und Existenzbeweise bot, zumal mit Benützung der 
seit Ausbildung der C an tor’ sehen Mengenlehre gewonnenen 
schärferen Begriffs-Bestimmungen, keine besonderen Schwierig- 
keiten. Dagegen ergaben sich solche bei der Formulirung und 
beim Beweise desjenigen Fundamental-Satzes, welcher von der 
Reduction eines Doppel-Integrales auf ein iterirtes In- 
tegral, d. h. von der Berechnung eines Doppel-Integrales 
mit Hülfe von zwei successive auszuführenden einfachen 
Integrationen handelt, da die Existenz des über eine gewisse 
Fläche erstreckten Doppel-Integrals Jj ' f (x, tj) ■ d x ■ dy 
keineswegs diejenige der einfachen Integrale J f(x,y) • dx, 
§f( x iy)dy bei constantem y bezw. x praejudicirt. Hiernach 
entsteht also vor allem die Frage, in wieweit überhaupt der 
für eine stetige Function f(x,y) geltenden Formel: 
