A. Pringsheim: Zur Theorie des Doppel-Integrals. 
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Eine vollständig befriedigende und allgemeine Lösung der 
angedeuteten Fragen bat jedoch erst Herr C. Jordan geliefert, 1 ) 
indem er durchweg die auch im Falle der Nicht-Existenz 
r x 
von J f (x, y)- dy, jf(x,y) • dx völlig wohldefinirten und praecisen 
I/O *0 
Begriffe des oberen und unteren Integrals in den Vorder- 
grund stellt. 
Bei der einigermaassen abstracten Fassung und ausser- 
ordentlich weit getriebenen Allgemeinheit 2 ) der Jordan’schen 
Auseinandersetzungen dürfte vielleicht eine vereinfachte Dar- 
stellung der zu einer vollkommen strengen Auffassung und Be- 
gründung der Formel (I) dienlichen Betrachtungen nicht über- 
flüssig erscheinen. Die von mir erzielten Vereinfachungen be- 
ruhen zum guten Theil auf der Anwendung einer gewissen 
neuen Bezeichnungsweise, welche mir nicht nur für den vor- 
liegenden Fall, sondern für Fragen aller Art, in denen Unbe- 
stimmtheitsgrenzen eine Bolle spielen, äusserst zweckmässig 
erscheint. Nachdem dieselbe in AH. I erklärt ist, stelle ich 
zunächst in Art. II — IV diejenigen Definitionen und Sätze aus 
der Theorie der einfachen Integrale zusammen, welche für das 
folgende erforderlich sind. Hieran schliesst sich in Art. V die 
Definition des Doppel-Integrales und sodann in Art. VI die 
Erörterung der fraglichen Formel (I), zunächst unter der An- 
nahme constanter Grenzen, also eines rechteckigen Integrations- 
Bereiches. Ich gebe den Beweis dafür unter zwei verschiedenen 
Formen, deren erste wie bei Du Bois Reymond auf der 
Heranziehung eines allgemeinen Grenzwerth -Satzes beruht, 
während die zweite als eine Complettirung des Harnack’schen 
Beweises gelten kann. Als Erläuterung für die Tragweite der 
bewiesenen Formel wende ich dieselbe auf eine Function an, 
¥ x 
bei welcher die Integrale § f(x,y) ■ dy, f f(x,y ) • dx für unend- 
VO *0 
x ) Journ. de Math. 4 ifeme serie, T. 8 (1892) p. 84, Art. 17. — Cours 
d’ Analyse, 2 de ed., T. I p. 42, Art. 56—58. 
2 ) Herr Jordan dehnt z. B. den Integral-Begriff auf ganz beliebig 
gedachte, insbesondere also auch auf unstetige Punkt-Mengen aus. 
