A. Pringsheim: Zur Theorie des Doppel- Integrals. 
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Der Nutzen der obigen Bezeichnungsweise tritt besonders 
deutlich hervor, wenn es sich um mehrere nach einander zu 
vollziehende Grenz-Uebergänge handelt. Namentlich gestattet 
dieselbe, gewisse Sätze über den Zusammenhang der Grenz- 
werthe von Functionen mehrerer Variablen bei simultanen 
und successiven Grenz-Uebergängen äusserst einfach und 
praegnant darzustellen. Hierher gehört z. B. der von mir bei 
anderer Gelegenheit *) ausgesprochene und bewiesene, im folgen- 
den zu benützende Satz: 
Ist: 
lim inf a flv = l v , 
fl = 00 
lim inf a flv — l fl , 
V — GO 
lim sup a /ir = L v 
fl = 00 
lim sup = L‘„ 
V = 00 
(y = 0,1,2,...), 
0 = 0 , 1 , 2 , . . .), 
so hat man stets: 
lim l v — lim L v 
V — GO v = 00 
lim l‘n = lim L‘ ;l 
fl — GO fl — CO 
= lim a 
fi =. cn, v — go 
fiv ? 
sobald ein endlicher oder bestimmt unendlicher lim a fiv 
fl = 00, V = 00 
existirt. 
Dieser Satz lautet jetzt einfach folgendermaassen : 
Man hat: 
( 5 ) 
allemal, wenn der rechts stehende Grenzwerth existirt. 2 ) 
!) Sitz.-Ber. 1897, S. 105. 
2 ) Mit Berücksichtigung der an Gl. (4) geknüpften Bemerkung kann 
man natürlich statt Gl. (5) auch schreiben: 
lim 
1 lim a 
v= co 
\u = co 
lim 
l lim a 
fl = CO 
w- ' 
= hm a . 
fl — 00, v = 00 
