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Sitzung der math.-phys. Classe vom 15. Januar 1898. 
II. Oberes und unteres Integral. Es sei f (x) end- 
lich und eindeutig definirt im Intervalle < x' < X. Wird 
das letztere in n beliebige Theil-Intervalle d v (v = 1 , 2 , . . . n) 
zerlegt und bedeutet Cr,, die obere, g v die untere Grenze von 
f(x) im Intervalle <5,, so haben die Summen: 
n 
G v d y = S„ eine bestimmte untere Grenze S, 
i 
n 
J^vgydy = s„ „ r obere , s. 1 ) 
i 
Alsdann lässt sich zeigen, 2 ) dass: 
n n 
(6) lim ]£>• G r d v = S, lim g,. d,. = s, 
6 r = o 1 <V — 1 i 
und zwar unabhängig von der Wahl der Theil-Intervalle d v 
und der besonderen Art des Grenz-Ueberganges. Speciell ist 
also auch: 
xl w A n 
(7) lim — y\ v Gy = S, lim — • y> g v = s, 
ii = ® ^ i « = a ^ j 
wenn X — x 0 = A , <5,. = — gesetzt wird, und G v bezw. g,. 
Yb 
wiederum die obere bezw. untere Grenze von f ( x ) im v ten Theil- 
Intervalle bezeichnet. 
S heisst sodann das obere, s das untere Integral von 
f{cc) für das Intervall (x 0 , X) — in Zeichen (nach dem Vor- 
gänge des Herrn Peano): 
b Diese Art, die Zahlen <S und s zu definiren (statt, wie gewöhn- 
lich geschieht, ihre Definition an die Gleichungen (6) anzuknüpfen) 
rührt, wie ich einer Mittheilung des Herrn Stolz entnehme (Monatsh. 
f. Math. VIII, S. 95), von Herrn Peano her: Atti Torin. T. XVIII, p. 441 
(1883). Dieselbe findet sich auch in der oben citirten Abhandlung des 
Herrn Pasch: a. a. 0. S. 144. 
2 ) S. z. B. Pasch, a. a. 0. S. 143. — C. Jordan, Cours d’analyse, 
2 de ed., T. I, p. 33. — 
