A. Pringsheim: Zur Theorie des Doppel-Integrals. 
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* x 
(8) S — J f(x) • dx, s — j* / (x) • dx. 
x o ^ 
Die von mir im folgenden anzuwendende Bezeichnung : 
x 
(9) jf(x)dx 
x o 
soll dann wiederum ausdrücken, dass in der betreffenden Formel 
das obere oder untere Integral ganz nach Willkür ge- 
wählt werden kann. 
III. Das obere und untere Integral als oberer und 
unterer Limes. Das obere bezw. untere Integral lässt sich 
auch noch in anderer Weise, nämlich als oberer bezw. unterer 
n 
Limes der Summen von der F orm f (£ v ) • d ( , auflfassen (wo 
i 
£ v dem Intervalle d,. angehört). Es gilt nämlich der folgende 
Satz: 
Bedeutet irgend eine und jede beliebige Stelle 
des Intervalles d v , so gelten die Beziehungen: 
n n 
(10) lim £ v f(£ v ) • d„ = S, lim /(£v) • d„ = s, 
«v = o 1 s^ö 1 
bei beliebiger Wahl der Theil-Intervalle d,,. Insbe- 
sondere wird also: 
( 11 ) 
n — co ^ 
n — 1 
A n_1 I 
Iim -• £>M*o + 
«=a> n 0 V 
(v -f #,) =s 
n ) 
(v + fl„) JA = ^ 
n J 
(wo: 0 < 1). 
Beweis. Man bat bei jeder Wahl der Theil-Intervalle d,., 
laut Definition: 
1898. Sitzuugsb. d. math.-phys. CI. 
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