A. Pringsheim: Zur Theorie des Doppel-Integrals. 
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IV. Das bestimmte Integral. Ist S = s, und nur in 
diesem Falle, so wird nach III: 
(12) lim /■(£>•) • ö y — lim f(£ v ) • <5 V , 
S v = ° 1 s y = 0 1 
n 
d. h. dann existirt ein bestimmter lim '£>/’(£,,) • <5„, welcher 
<V = 0 j 
als das bestimmte Integral von f(x,y) in den Grenzen x 0 
und X bezeichnet wird, und man setzt, wie üblich: 
(13) lim ]£>• f(£ v ) • d y = J f(x) ■ dx. 
— 0 1 x 0 
In diesem Falle besteht also die Beziehung: 
Ä x 
(14) J f(x) • dx — j f{cc) • dx. 
V. Das Doppel-Integral. Ist f(x,y) endlich und ein- 
deutig definirt im Innern und auf den Grenzen des continuir- 
n 
liehen und quadrirbaren *) Bereiches T , und bedeutet t v 
i 
irgend eine Zerlegung von T in n quadrirbare Theilbereiche 
t v , ferner G v die obere, g v die untere Grenze von f(x,y) für 
den Theilbereich t v , so besitzt von den beiden Summen: 
n n 
(15) ^ v " ty ffy " ty 
1 1 
die erstere eine untere Grenze 5, die letztere eine obere 
Grenze s. Und es lässt sich wiederum zeigen, 1 2 ) dass bei be- 
liebiger Wahl der Theilbereiche t v und unabhängig von der 
1 ) Mit anderen Worten: die Punkte von T sollen ein stetiges 
System bilden, dem eine bestimmte Flächenzahl zukommt. Es er- 
scheint mir pädagogisch zweckmässig, den Begriff der Flächenzahl, 
welche ja in Wahrheit nur einen speciellen Fall des Doppel-Integrals 
bildet, bei dessen allgemeiner Definition als bereits bekannt voraus- 
zusetzen. — 
2 ) S. z. B. Serret-Harnack, Bd. II, Art. 581. — C. Jordan, a. a. 0. p. 33. 
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