68 Sitzung der math.-pliys. Classe vom 15. Januar 1898. 
besonderen Art des Grenz-Ueberganges die Beziehungen be- 
steben : 
« n 
(16) lim yjv G v ■ t y = S, lim V,' g y • t v = s, 
<5 V = 0 j <5 y = 0 x 
•wenn <5,. den grössten Durchmesser von t,. bedeutet. S heisst 
alsdann das obere, s das untere Doppel-Integral 1 ) von 
f(x,y), erstreckt über den Bereich T. 
Die Bedingung S = s ist dann wiederum nothwendig 
und hinreichend für die Existenz eines bestimmten Grenz- 
werthes : 
n 
HUI f (I,., T]y) • ty 
<5,7=0 1 
(wo (£ y , ?;,.) eine beliebige Stelle von t bedeutet). Derselbe 
heisst das über T erstreckte Doppel-Integral von f(x,y), 
in Zeichen : 
(17) hm f (£ r . Vy) ■ ty = j'J f (x, y) ■ d t. 
<5,. = 0 i ('/■) 
YI. Das Doppel-Integral mit constanten Grenzen 
und seine Reduction auf ein iterirtes Integral. Ist der 
Bereich T ein Rechteck mit den Eckpunkten (x 0 , y 0 ), (X, y Q ), 
(X, Y), (x 0 , Y), so mag das entsprechende Doppel-Integral mit 
(X, D 
JJ f (x. y) • dx • dy bezeichnet werden. Wählt man alsdann 
l*o, Vi) 
als Theil - Bereiche m • n Rechtecke mit den Grundlinien 
ö f , (ju = 1,2,... m ) und den Höhen e, (v = 1, 2, . . . n ), so hat 
man laut Definitions-Gleichung (17): 
(X, n m n 
(18) j* J* f(x, y) • dx • dy = lim f (£,«>•> >/,«.-) • • e r , 
(Xo.tfo) <5 /t = 0, t v = 0 x i 
') Andere Definitionen und zugleich Verallgemeinerungen dieser 
Begriffe mit ausschliesslicher Benützung von geradlinig begi’enzten 
Theilbereichen hat neuerdings Herr Stolz gegeben: .Zwei Grenz- 
werthe, von welchen das obere Integral ein besonderer Fall 
ist.“ Sitz.-Ber. d. Wiener Akad. 1897, S. 458 ff. 
