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A. Pringsheim: Zur Theorie des Poppel-Integrals. 
und, wenn man die = 1,2,. ..m), ebenso die e v (v = l,2 ,...ri) 
einander gleich macht: 
(19) 
j* J ffay) • dx ■ dy 
(*o, l Io) 
m — oo,« = oo /«■ n o Q \ Mt % 
wo: X — x 0 = A, Y y n = JB, 0 _< < 1, 0 ^ 0,' < 1. 
Dann soll gezeigt werden, dass: 
= ffoy) • d y 
(x, r) 
(20) S S ffay)-dx-dy 
(*o, ?/o) 
*0 2/o 
r x 
J* dy J /■(*, y)-dx x ) 
yo xq 
allemal wenn das betreffende Doppel -Integral im Sinne der 
Def. -Gleichung (18) existirt. * 2 ) — 
Beweis I. Nach dem am Schlüsse von Art. I citirten 
Satze oder, genauer gesagt, mit Hülfe einer leicht vorzuneh- 
menden Modification 3 ) desselben, ergiebt sich, wenn das frag- 
liche Doppel-Integral, also der Grenzwerth (19) existirt, 
unmittelbar : 
(X, Y) 
J J ffay) ■ dx ■ dy 
(xq.Vo) 
= lim - ffi - - Y f(x,+ y + 
- = •* o V » » 
d. h. mit Berücksichtigung von Gl. (11) und (8): 
9 Selbstverständlich kann man hei den äusseren Integralen auch 
x ¥ 
einfach: J*, J* schreiben — cf. Gl. (14). 
*o 2/o 
2 ) Es handelt sich, mit anderen Worten, hier immer nur um 
„eigentliche“ Doppel-Integrale. 
3 ) Diese Modification ist erforderlich wegen der Unbestimmtheit 
der mit ■& fl , d‘ y bezeichneten Zahlen. 
