A. Pringsheim: Zur Theorie des Doppel-Integrals. 
71 
Daraus folgt weiter: 
m n m _ m n 
q [j.v * *5« * V*- * ^ / (l)«? y ) * ’jLj' 1 
11 1 * 11 
und somit für lim m = oo , lim n = o o , unter der einzigen 
Voraussetzung, dass das betreffende Doppel-Integral in dem 
angegebenen Sinne existirt: 
(X, l 7 ) rf A 
(20a) J j f(x,y)‘ dx- dy = j* dx § f(x,y)- dy, q. e. d. 
(*•> x 0 no 
Analog ergiebt sich wiederum: 
(20b) JJ f(x,tj)-dx-dy = Jdyjf(x,y)-dx. 
(xo, ’Jo) 
Vo 
x 0 
Zusatz. Man bemerke, dass die rechte Seite der Formeln 
(20) in jedem Falle durchaus wohldefinirte Operationen 
enthält, auch wenn keins der einfachen bestimmten In- 
r x 
tegrale jf(%,y)-dy, §f(x,y)-dx existirt: für die Gültig- 
m x q 
keit jener Formeln ist eben nur die Existenz des betreffen- 
den Doppel-Integrals erforderlich. 
Beispiel. Denkt man sich jeden Werth einer Veränder- 
lichen x in der üblichen Weise 1 ) durch einen endlichen oder 
unendlichen Decimalbruch dargestellt, so möge die Anzahl 
der jedesmal erforderlichen Decimalstellen durch p x bezeichnet 
werden (sodass also p x nur dann einen endlichen Werth be- 
*)Yb 
sitzt, wenn X von der Form - q„ ist, während in jedem anderen 
Fall p x = oo wird). Alsdann ist offenbar (bei beliebiger Wahl 
von x 0 und X): 
(a) 
s 
1 
Px- i- 1 
dx = 0, 
*) D. h. mit Ausschluss solcher unendlicher Decimalbrüche. welche 
die Periode 9 besitzen. 
