A. Pringsheim: Zur Theorie des Doppel-Integrals. 
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VII. Reduction des Doppel-Integrals auf ein ite- 
rirtes Integral für einen (im wesentlichen) beliebig 
begrenzten Bereich. Es sei T ein quadrirbarer Bereich, 
dessen Begrenzung von jeder Parallelen zur F-Axe nicht mehr 
als zweimal geschnitten wird. Sind dann x 0 , X die äuss er- 
sten Abscissen, denen noch Punkte der Begrenzungs-Curve 
entsprechen, und wird diese letztere durch die zu x 0 und X 
gehörigen Ordinaten in die beiden Curvenbögen zerlegt: 
y = rp (x), y = <P (x) {<P ix) ep ( x )), 
so gilt die Beziehung: 
X 0 ( x ) 
( 21 ) JJ f(x,y)-dT — J dx J f(x, y)-dy, 
(T) Xo <p(x) 
falls das Doppel-Integral in dem angegebenen Sinne existirt. 
Beweis. Es bedeute g(x,y) eine Function von der Be- 
schaffenheit, dass: 
g (x,y) = f (x,y) für alle (x, y) des Bereiches T 
y(x,y) = 0 „ „ „ ausserhalb T. 
Ist dann U irgend ein den Bereich T einschliessender 
Bereich, so existirt das Doppel-Integral §§g(x,y) dU über 
den Bereich U erstreckt, da die Integrabilität von g (x, y) durch 
die Unstetigkeit längs der Grenz-Curve von T offenbar nicht alterirt 
wird. Zugleich ergiebt sich, wenn U = T 4- T' gesetzt wird: 1 ) 
SSdfay) • d f(%,y) • dT (wegen: § § g (xaj) • d T' = 0). 
(ü) (T) CD 
Bedeutet nun y 0 den kleinsten, Y den grössten Ordi- 
natenwerth für die Grenz-Curve von T. und wählt man für 
den Bereich U dasjenige Rechteck, welches durch die vier Ge- 
raden : x = x 0 , x = X. y — y 0 . y = Y begrenzt wird, so nimmt 
die letzte Gleichung ^bei Vertauschung ihrer beiden Seiten) 
die folgende F onn an : 
') Diese Zerlegung U — T -\- T‘ soll so aufgefasst werden, dass der- 
jenige Theil der Begrenzung von T, welcher auch T‘ begrenzt, zwei- 
mal gezählt, nämlich sowohl zu T als zu T gerechnet wird. 
