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Ueber die Convergenz unendlicher Kettenbriiche. 
Von Alfred Pringsheim. 
(Eingelaufen 25. Juli.) 
Für die Beurtheilung der Convergenz von Ketten- 
brüchen mit beliebigen reellen oder complexen Gliedern 
besitzt man bisher, soweit mir die betreffende Literatur bekannt 
ist, keinerlei allgemeine Kriterien. In dem folgenden Aufsatze 
sollen einige Formen hinreichender Convergenz-Bedingungen 
von sehr einfachem Charakter und verhältnissmässig grosser 
Allgemeinheit mitgetheilt werden* Ich benütze diese Gelegen- 
heit, um zunächst das Wesen der beiden verschiedenen Con- 
vergenz-Charaktere, die ich als unbedingte und bedingte 
Convergenz eines Kettenbruches bezeichne, genauer festzu- 
stellen (§ 2). Da bei dieser Untersuchung das eventuelle Vor- 
kommen von sinnlosen Näherungsbrüchen (d. h. solchen 
mit dem Nenner 0) eine eingehende Berücksichtigung erfordert, 
so schicke ich zunächst einige Bemerkungen über die Natur 
und eventuelle Häufigkeit derselben voraus (§ 1). Sodann wird 
ein allgemeines Kriterium für die unbedingte Convergenz 
eines Kettenbruches mit beliebigen Gliedern aufgestellt, welches 
sich als eine directe Verallgemeinerung eines bekannten Kri- 
teriums für Kettenbrüche mit lauter reellen negativen Gliedern 
erweist (§ 3). Nach einer Digression über eine durch jenes 
Kriterium ermöglichte Verallgemeinerung des Legen dre’s chen 
Irrationalitäts-Satzes (§ 4), werden mit Hülfe von sein- 
einfachen Transformationen zunächst für zwei speciellere Ketten- 
bruch-Formen, schliesslich aber auch wieder für ganz beliebige 
Kettenbrüche noch andere Convergenz-Bedingungen von wesent- 
lich verschiedenem Charakter abgeleitet (§ 5). 
