A. Pringsheim: Ueber die Convergenz unendlicher Kettenbrüche. 301 
Kettenbruches 
•11+1 
entscheidet auf Grund der oben 
A„ 
gegebenen Definition lediglich das Verhalten von lim . 
n=<x> -&m t n 
Hierbei sind folgende zwei Fälle zu unterscheiden: 
I. Die B„, u sollen — zum mindesten von einer bestimmten 
Stelle n~> n 0 ab — durchweg von Null verschieden sein. 
Da in Folge der Convergenz von |^J das analoge für die B n 
gilt, so stellen — zum mindesten für hinlänglich grosse n — 
die Quotienten: 
(13) 
A n 
~B t 
= K n , 
n 
B nt 
= K 
m, ti 
bestimmte Zahlen vor. Alsdann ergiebt sich aus (12) die 
Beziehung: 
(14) 
jr A m I K m n r\_ni — ] 
n ~~B~+K m , n B m _ x 
um 
und, da der Nenner der rechten Seite ( = t> " ) wieder 
von Null verschieden ist, so folgt weiter: 
(1^) ( A n • Bf fi — j A m — ] ) • K„, n — ( A n • Bff i A m ) 
also schliesslich für hm n = oo : 
(16) {K ■ - H m _,) • = - (K ■ B m - A m ) (m > 1) 
OO 
Hieraus folgt aber, dass |^ ' | allemal convergirt, 
wenn 
m+1 
A 
| K • B m _\ — i j > 0, d. h. wenn - von K verschieden 
B, n — 1 
A 
ausfällt (wobei es gleichgültig ist, ob - — eine bestimmte 
B,h—\ 
Zahl vorstellt oder sinnlos wird, da ja im letzteren Falle, nach 
§ 1, V, | A ,„- 1 J > 0 sein muss). 
