A. Pringsheim: Ueber die Convergem unendlicher Kettenbrüche. 307 
Hiernach besitzen also ausschliesslich unbedingt conver- 
gente Kettenbruch-Entwickelungen einer Zahl oder Function K 
den Charakter einer gewissen analytischen Not h Wendig- 
keit: jede der Zahlen a y , b y steht, wie gross auch v sein 
mag, zu K in einer bestimmten, durch die vorangehenden 
Zahlen a 0 , b 0 , i, b v -\ vermittelten Beziehung, in der 
K selbst eine wesentliche Rolle spielt. Ist dagegen 
K = T 
b v 
es eine oder eine erste Zahl m von der Beschaffenheit, dass: 
(wo |2f|>0) nur bedingt convergent, so giebt 
= K, dagegen: 
= 0 wird. Hier besteht offenbar 
m-(-l 
ein bestimmter Zusammenhang mit der Zahl K nur für die 
Zahlen a l ,b l , . . . a m , b m , während alle übrigen a y , b y (v > m) 
von K völlig unabhängig sind und nur der Bedingung 
= 0 zu genügen haben. Man könnte geradezu in dem 
m+! 
r a v 
Kettenbruche 
, ohne seinen Werth zu verändern, alle 
Glieder für v ^ m -f- 1 durch unendlich viele andere Systeme 
Oy 
Oj Y cx' "I 00 
~r (y = 1, 2, 3, . . .) ersetzen, die bis auf die Bedingung j = 0 
als willkürlich anzusehen wären. 
Ueber solche Kettenbrüche von der Form 
= 0 sei 
noch folgendes bemerkt. Aus dem oben gesagten geht hervor 
Convergenz auch folgendermaassen fassen : Der convergente Kettenbruch 
r a v u • 
I heisst unbedingt convergent, wenn keiner der Kettenbrüche 
IAJ, 
[ a v ~l co 
j^— J (m = 0, 1,2,...) nach Null convergirt. 
m+l 
