A. Pringsheim: Ueber die Convergenz unendlicher Kettenbrüche. 309 
für eine unendliche Folge von Zahlen m v ( v = 0,1,2,.. .) 
stattfindet. Alsdann werden unter den Kettenbrüchen von der 
Form 
CO 
unendlich viele divergente Vorkommen (näm- 
m- J-l 
lieh alle für m = m v -j- 1 resultirenden, so dass also der vor- 
gelegte Kettenbruch selbst nach Abtrennung einer beliebig 
grossen Anzahl von Anfangsgliedern niemals einen unbe- 
dingt convergenten liefern kann. 
Da diese Möglichkeit meines Wissens niemals erörtert 
worden ist, so dürfte es nicht überflüssig sein, nachzuweisen, 
dass der fragliche, zunächst nur als denkbar hingestellte Fall 
auch wirklich construirt werden kann. 
Nach einer bekannten Euler’ sehen Formel 1 ) hat man: 
(29) 
n t n 
gv'-l ] _ TM 
. . ”1 
und hieraus resultirt für lim n — oo , falls — convergirt, 
1 <lv 
die Transformation dieser Reihe in einen aequivalenten 
A‘ n 
Kettenbruch, d. h. einen solchen, dessen Näherungsbrüche 
mit den Partialsummen s n (n — 1, 2, 3, . . .) übereinstimmen. 
Wählt man also die betreifende Reihe in der Weise, dass 
“ 1 
ly — = 0 und ausserdem für unendlich viele Zahlen m v die 
i q v 
A‘ m 
^ = 0. 
in v 
Eine solche Wahl lässt sich aber auf unendlich viele Arten 
mit Leichtigkeit bewerkstelligen: es braucht nur s„, v = 0 und 
für v 1 : s„, v — — 0 angenommen zu werden, d. h. die 
Reihe muss aus lauter Gliedergruppen mit der Summe 0 be- 
stehen, wobei man noch, um durchweg von Null verscliie- 
Beziehung besteht: s my = 0, so wird auch allemal 
B 
l ) Introductio, T. I. § 369. 
