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Sitzung der math.-phys. Glosse vom 11. Juni 1S98. 
complexen a,., b v der Kettenbruch 
(und zwar unbedingt), wenn: 
(34) | a v | — M ^ 1 (v = 1, 2, 3, . . .). 1 ) 
Zugleich lassen sich aus diesem Convergenz - Kriterium 
durch passende Transformationen noch andere ableiten, welche 
nicht als specielle Fälle darin enthalten sind. Ich beweise 
den fraglichen Hauptsatz zunächst für Kettenbrüche von etwas 
speciellerer Form, nämlich: 
Sind p v , q>. (v = 1, 2, 3, . . .) beliebige positive 
Zahlen, welche durchweg der Bedingung genügen: 
qv—Pr> 1, 
') Wie ich nachträglich aus einer kurzen Notiz im Jahrbuch über 
die Fortschritte der Mathematik Bd. 21 (1892), S. 186 ersehe, hat Herr 
J. W. Sleschinski die Convergenz-Bedingung aufgestellt: 
M- M>* 
(also, wie es scheint, mit Ausschlus s des weiter unten noch besonders 
vortheilhaft zu verwerthenden Falles der Gleichheit). In dem citirten 
Referate wird lediglich dieses Factum ohne jeden weiteren Zusatz ange- 
führt, und es ist nicht einmal zu ersehen, ob die a v , b v nur reelle 
oder auch complexe Zahlen bedeuten. Die in russischer Sprache ge- 
schriebene und in der Moskauer Math. Sammlung publicirte Arbeit 
selbst ist mir bisher nicht zugänglich gewesen. Das gleiche gilt von 
einer anderen in dem nämlichen Referate erwähnten Arbeit desselben 
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Verfassers, in welcher für Kettenbrüche von der Form J die Convergenz- 
Bedingung lim c y = 0 angegeben wird. Die letztere ist in dieser Form 
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sicherlich unrichtig. Denn, sieht man von dem besonderen Falle ab, 
dass der Kettenbruch lauter positive Theilzähler und Theilnenner be- 
sitzt, so üben ja die Anfangsglieder, wie aus den Untersuchungen 
des vorigen Paragraphen des näheren hervorgeht, einen ganz wesent- 
lichen Einfluss auf die Convergenz des Kettenbruches. Aus einer 
Bedingung, die sich nur auf das Verhalten der Kettenbruch-Glieder im 
Unendlichen bezieht, kann also höchstens auf die Convergenz des 
Kettenbruches von einer gewissen (nicht einmal an gebbaren) Stelle 
geschlossen werden. Im übrigen stellt die obige Bedingung (mit der 
angemessenen Correctur) nur einen sehr speciellen Fall der weiter unten 
(Ungl. (78)) von mir aufgestellten: |c y |.<A dar. 
allemal convergirt 
